튜링 1936 논문의 대각선 논증 재검토와 비계산수 존재 논쟁

초록

본 논문은 튜링의 1936년 원논문을 정밀히 재검토하여, 계산 가능한 수열의 대각선으로 정의된 “비계산수”가 실제로 존재한다는 튜링의 주장에 논리적 결함이 있음을 지적한다. 특히, 튜링이 가정한 기계 D가 모든 기계의 원형·비원형 여부를 유한 단계 내에 판단할 수 있다는 전제가 실현 불가능함을 보이며, 따라서 대각선 과정이 비계산수를 확정짓는 증명으로서는 충분하지 않다고 주장한다.

상세 분석

논문은 먼저 튜링이 도입한 기본 개념—계산 기계, 원형·원형 자유 기계, 표준 기술(standard description, S.D.) 및 기술 번호(description number, D.N.)—을 정확히 재정의하고, 이들 개념이 원본 논문에서 어떻게 사용되는지를 단계별로 추적한다. 특히 섹션 8에서 튜링이 제시한 “β”와 “β′”라는 대각선 수열을 구성하는 과정에서, 기계 D가 주어진 S.D.가 원형 자유인지 원형인지를 판정하고, 그 결과를 유한 단계 내에 반환한다는 가정이 핵심적인 전제임을 강조한다.

그러나 저자는 이 가정이 실질적으로 모순을 내포하고 있음을 보인다. 원형 자유 기계의 경우, D는 무한히 진행되는 완전 구성표(C 2 형태)를 생성해야만 “s”라는 표시를 할 수 있는데, 이는 유한 단계 내에 결정을 내릴 수 없다는 점에서 튜링이 명시한 “유한 단계 내에 결정한다”는 요구와 직접 충돌한다. 즉, D가 실제로 존재한다면 원형 자유 기계의 무한 출력 전체를 미리 알 수 있어야 하는데, 이는 계산 가능성의 정의 자체에 반한다.

또한 대각선 수열 β′를 생성하기 위해 H 기계가 D와 보편 기계 U를 결합하는 과정에서도 동일한 문제점이 재현된다. H는 자신의 기술 번호 K에 도달했을 때, 자신이 원형 자유인지 원형인지를 판단하려는 자기참조적 상황에 빠진다. 이때 요구되는 “첫 K개의 출력을 계산하고 K번째를 출력한다”는 명령은 무한 회귀를 일으켜 실행 불가능함을 보이며, 이는 튜링이 제시한 ‘모순’이 실제로는 가정 자체의 비현실성에서 비롯된 것임을 시사한다.

결과적으로 논문은 튜링의 대각선 논증이 “비계산수”의 존재를 증명하기보다는, 튜링이 설정한 가정(특히 기계 D의 존재) 자체가 비실현적이라는 점을 드러낸다고 결론짓는다. 따라서 “계산 가능한 실수는 열거될 수 없으며, 따라서 비계산수가 존재한다”는 튜링의 주장에는 논리적 공백이 남으며, 현대 계산 이론에서 비계산수의 존재는 별도의 구성(예: 튜링 차단 문제)이나 귀류법이 아닌, 명시적 비결정 문제를 통해서만 확립될 수 있음을 강조한다.