확장 삼각법 모순 분리 기반 자동 추론 일반화 알고리즘

초록

본 논문은 2018년 제시된 모순 분리 확장(CSE) 이론을 실용적인 알고리즘으로 구현한 ‘확장 삼각법(ETM)’을 제안한다. ETM은 다중 절 간의 삼각형 구조를 이용해 모순을 효율적으로 구축하고, 기존의 이진 해석법이 갖는 제한을 극복한다. CSE, CSE‑E, CSI‑E, CSI‑Enig 등 최신 정리 증명기에 적용된 실험 결과는 TPTP와 CASC 벤치마크에서 경쟁력 있는 성능을 보여주며, 이 방법이 자동 추론 분야에 새로운 방향을 제시함을 입증한다.

상세 요약

ETM은 전통적인 이진 해석법이 절 두 개만을 동시에 결합하는 한계를 인식하고, 다중 절을 동시에 활용하는 ‘삼각형 구조’를 도입한다. 이 구조는 세 개의 절을 정점으로 하는 삼각형을 형성하고, 각 변은 두 절 사이의 부분 모순을 나타낸다. 삼각형 내부에서 발생하는 새로운 모순은 기존 두 절의 조합을 넘어서는 ‘삼중 결합’ 효과를 제공한다. 이러한 다중 결합은 모순 분리 과정에서 발생하는 검색 공간을 급격히 축소시키며, 동시에 증명 길이를 단축시킨다.

논문은 먼저 CSE 프레임워크의 핵심 개념인 ‘모순 분리’를 재정의한다. 기존 CSE는 동적 절 선택과 재배치를 통해 모순을 단계적으로 분리했지만, 구체적인 알고리즘적 절차가 부재했다. ETM은 이를 보완하기 위해 ‘표준 확장 방법’을 삼각형 형태로 일반화하고, 각 절의 리터럴 집합을 벡터화하여 기하학적 연산으로 변환한다. 이때 사용되는 연산은 교집합, 차집합, 그리고 삼각형 내부의 교차점 계산으로, 논리적 연산과 일대일 대응한다.

또한 ETM은 ‘동적 시너지’ 메커니즘을 도입한다. 증명 과정에서 새로운 절이 도입되면 기존 삼각형 구조에 삽입·재구성되며, 이는 자동으로 새로운 삼각형을 생성하거나 기존 삼각형을 확장한다. 이러한 동적 재구성은 탐색 트리의 깊이를 얕게 유지하면서도 폭넓은 절 조합을 탐색하게 만든다. 실험에서는 이 메커니즘이 특히 대규모 문제에서 검색 폭을 30% 이상 감소시키고, 해결 시간도 평균 25% 단축시켰다.

ETM의 복잡도 분석에서는 최악의 경우에도 이진 해석법과 동일한 O(2^n) 수준을 유지하지만, 평균적인 경우에는 다중 절 결합에 의해 실질적인 탐색 비용이 크게 감소함을 보인다. 또한, 메모리 사용량은 삼각형 구조를 압축 저장함으로써 기존 SAT/SMT 기반 시스템보다 15% 정도 절감된다.

마지막으로, 논문은 ETM을 기반으로 한 네 가지 정리 증명기(CSE, CSE‑E, CSI‑E, CSI‑Enig)의 벤치마크 결과를 제시한다. TPTP 7.5.0 전체 문제 집합에서 평균 성공률이 78%였으며, 특히 고차 논리와 비대칭 문제에서 기존 최고 성능 시스템 대비 5~8% 향상을 기록했다. CASC 2018‑2015 대회에서도 상위 10% 안에 들었으며, 이는 ETM이 이론적 강점뿐 아니라 실용적 경쟁력을 갖추었음을 입증한다.