유한 리 군의 틸팅 표현과 Deligne–Lusztig 범주 O

초록

본 논문은 유한 체 위의 연결된 환원군 G(F_q) 에 대해, 전통적인 BGG 범주 O와 유사한 “Deligne–Lusztig 범주 O”를 정의하고, 이 범주의 틸팅 퍼시브 객체들로부터 얻어지는 “틸팅 표현”들을 구축한다. 틸팅 표현들은 G(F_q) 의 정수 계열 프로젝트ive 표현들을 생성하며, 그 문자(character)를 Lusztig의 기존 계산과 연결시켜 Dudas–Malle의 예측을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 G 을 k = \overline{𝔽}_q 위의 연결된 환원군으로 잡고, Frobenius F 에 의해 정의되는 유한군 G(F_q) 의 표현 이론을 탐구한다. 전통적인 BGG 범주 O는 U\G/B 위의 ℓ‑adic 퍼시브 층을 통해 정의되며, 이는 최고 가중치(Highest‑weight) 구조와 Hecke 대수의 범주화(categorification)를 제공한다. 저자는 이 구조를 “Deligne–Lusztig 범주 O”(이하 𝒪_DL)라 명명하고, U\G/U 에 대한 Ad F 작용을 고려한 호로사이클 스택 U\G/U Ad F T 위에 정의한다.

Bruhat 분해 G = ⨆_{w∈W} B w B 를 이용해 𝒪_DL 을 각 w‑층 U\B w B/U Ad F T 위의 스택으로 분해한다. 각 층은 pt/(T_w^F ⋉ U∩wU) 와 동형이며, 여기서 T_w^F 는 F‑고정 토러스의 유한군이다. 따라서 𝒪_DL 은 T_w^F 의 표현 카테고리들의 직접합으로 “글루잉(gluing)”된다.

표준 객체 Δ_{w,χ}=j_{w,!} E_χ