고차원 포트폴리오 최적화와 QAOA: 스큐니스·커틀로시스 포함

초록

본 논문은 포트폴리오 최적화에 스큐니스와 커틀로시스라는 고차 모멘트를 도입하고, 이를 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)으로 해결하기 위한 고차원 무제한 이진 최적화(HUBO) 모델을 제시한다. 정수 변수 인코딩과 자본 기반 예산 제약을 적용했으며, 100개의 실험 인스턴스를 통해 QAOA가 기존 연속형 변수 기반 클래식 베이스라인보다 우수한 포트폴리오 배분을 제공함을 보였다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 평균‑분산 포트폴리오 모델을 고차 모멘트(스큐니스, 커틀로시스)를 포함하도록 확장함으로써, 실제 자산 수익 분포의 비대칭성과 꼬리 위험을 정량화한다. 고차 모멘트는 비용 해밀토니안에 삼차·사차 항을 추가하게 만들며, 결과적으로 문제는 QUBO가 아닌 HUBO 형태가 된다. 저자들은 이 HUBO를 양자 회로에 직접 매핑하기 위해 이진 변수 x_i와 정수 변수 z_i를 이진 인코딩(예: 베이스‑2 또는 한 비트당 단위)으로 변환하고, 자본 기반 예산 제약을 라그랑주 승수 형태가 아닌 직접적인 선형 제약으로 구현한다.

양자 측면에서, QAOA는 파라미터화된 유니터리 연산 U(γ,β)=e^{-iγH_C}e^{-iβH_B}를 반복 적용한다. 여기서 H_C는 고차 항을 포함한 비용 해밀토니안이며, H_B는 전통적인 X‑연산을 이용한 믹서 해밀토니안이다. 고차 항을 포함하면 γ 파라미터의 최적화 공간이 급격히 복잡해지며, 실험에서는 13 단계(p=13)까지 탐색하였다. 또한, 파라미터 초기화와 최적화에 COBYLA와 SPSA를 혼합 사용해 노이즈에 강인한 솔루션을 찾았다.

클래식 베이스라인은 연속형 변수 w_i∈