무작위 확산계수를 가진 슈뢰딩거 방정식의 평균 제어 가능성

초록

본 논문은 확률 변수 α가 절대 연속 분포를 따를 때, 무작위 확산계수를 가진 슈뢰딩거 방정식의 평균(기대값) 제어 가능성을 연구한다. 특수한 가설(H)을 만족하는 분포에 대해 평균 영 제어(null controllability)를 증명하고, 모든 절대 연속 분포에 대해 평균 정확 제어(exact controllability)가 불가능함을 보이며, 동시에 영 제어가 가능한 경우는 유한한 경우에만 존재함을 제시한다. 또한 정규·코시 분포를 대상으로 수치 실험을 수행해 이론을 검증한다.

상세 분석

본 연구는 (Pα)라 표기된 무작위 슈뢰딩거 방정식
∂ₜy−α iΔy=1_{G₀}u, y|_{∂G}=0, y(0)=y₀
에서 확산계수 α가 확률 변수이며, 그 분포 μ_α가 절대 연속이라고 가정한다. 저자들은 평균 제어 가능성을 정의하고, 평균 영 제어(null controllability)와 평균 정확 제어(exact controllability)를 각각 정의·분석한다. 핵심은 가설(H)이다.
|ϕ_α(λ t₂)| ≤ e^{−c λ^{r}(t₂−t₁)^{θ}} |ϕ_α(λ t₁)|, ∀λ≥0, t₁<t₂∈