베셀 보정과 무편향 분산, 그리고 런타임 최적화된 새로운 Bariance 추정기

초록

본 논문은 전통적인 Bessel 보정(분모 n‑1)으로 얻는 무편향 표본분산의 수학적 근거를 재조명하고, 평균 대신 모든 쌍의 제곱 차이를 이용한 “Bariance”라는 새로운 분산 측정법을 제안한다. Bariance는 평균이 0인 경우 무편향 분산의 2배와 동일함을 보이며, 합계와 제곱합만 이용한 선형‑시간 공식으로 계산할 수 있음을 증명한다. 또한 시뮬레이션을 통해 Bariance 기반 추정기의 실행시간 이점을 확인하고, Rosenthal가 제안한 n‑분모 MSE 최적화와의 관계를 논의한다.

상세 분석

이 논문은 세 가지 주요 기여를 담고 있다. 첫째, 교과서 수준에서 자주 언급되는 Bessel 보정의 편향‑분산 트레이드오프를 기하학적 관점(벡터 공간에서 평균 방향과 직교하는 잔차 공간)으로 명확히 설명한다. 이를 통해 표본 평균을 추정함으로써 자유도가 하나 감소하고, 따라서 분모를 n‑1로 바꾸어야 기대값이 모집단 분산 σ²와 일치한다는 사실을 다시 한 번 확증한다. 둘째, “Bariance”라는 새로운 분산 대안을 정의한다. Bariance는 모든 순서쌍 (i, j)에 대해 (Xᵢ − Xⱼ)²를 평균한 값으로, 이는 완전 그래프의 에지 길이 제곱의 평균과 동등하다. 수식 전개를 통해 Bariance를
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