마코프 가법 과정의 강법칙과 함수형 중심극한정리

초록

본 논문은 연속시간 마코프 가법 과정(MAP)의 강법칙(SLLN)과 함수형 중심극한정리(FCLT)를 일반적인 마코프 변조 과정에 대해 확장한다. 변조 과정이 양의 재발(positive recurrent) 혹은 영(무) 재발(null recurrent)일 때도 적용 가능하도록, 가법 함수와 반마르코프 반변동성(semi‑martingale) 구조를 이용한 새로운 증명을 제시한다. 주요 결과는 변조 과정의 불변 측도(유한·무한 여부)에 따라 ξₜ/t와 보정된 적분 Aₜ/t의 거의 확실한 수렴을 보이며, 추가 가정 하에 확률적 한계 과정으로 비정상 확산을 얻는 FCLT를 제시한다.

상세 분석

이 논문은 마코프 가법 과정(MAP)을 “조건부 정역성 및 독립 증분(C‑PII)”을 갖는 연속시간 프로세스로 정의하고, 이를 두 구성요소인 변조 과정 Θ와 가법 성분 ξ로 분리한다. 기존 연구는 주로 Θ가 유한 상태의 마코프 체인일 때만 다루었으며, 일반적인 마코프 프로세스(특히 Harris 재발 과정을 포함)로 확장된 결과는 제한적이었다. 저자는 (H1)–(H8)이라는 일련의 가정을 통해 MAP을 반마르코프 반변동성(semi‑martingale)으로 표현한다. 핵심은 다음과 같다.

1. 반마르코프 반변동성 분해
   ξₜ를 연속형 가우시안 부분 ξᶜ, 순수 점프 부분 ξᶠ, 그리고 조건부 독립 증분을 갖는 연속형 부분 ξᵈ, 그리고 변조에 의존하는 드리프트 χ 로 분해한다(식 (2)). 이는 Lévy‑Itô 분해와 유사하지만, 각 성분이 Θ에 의해 완전히 결정된다는 점이 특징이다. 특히 ξᶠ와 χ는 Θ의 점프와 연관된 불연속성을 포함한다.

2. 레비 시스템과 특성함수
   레비 시스템 (H, Π)와 연속 증가 함수 Hₜ를 가정(H4)하여, 점프 강도와 전이 커널 Π를 명시한다. 이를 통해 조건부 기대값 Qᵩ