행렬 전체함수에 대한 피카르 소정리와 전면적 해석

초록

본 논문은 복소수 전체함수 f 를 행렬에 적용했을 때 그 상(像)을 완전히 규정한다. f가 비정상값(전부 중복된 근을 갖는 값)을 가질 경우, 행렬의 고유값이 그 전부 중복값인지에 따라 상이 (M_n(\mathbb C)\setminus E_a), (M_n(\mathbb C)\setminus S_{f,a}) 또는 전부 (M_n(\mathbb C)) 가 된다. 전부 중복값은 최대 두 개이며, 각 경우에 대한 정확한 제외 집합을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 전체함수 f(z)=∑a_k z^k 가 행렬 (A\in M_n(\mathbb C)) 에 대해 (f(A)=∑a_k A^k) 로 정의될 수 있음을 상기한다. 이때 행렬의 고유값과 조던 형태가 핵심적인 역할을 한다. 저자는 ‘전부 중복값(totally ramified value)’을 (a\in\mathbb C) 라 하고, (f(z)=a) 의 모든 근이 최소 차수 2 이상의 중복을 가진 경우라 정의한다. 복소 전체함수는 피카르의 작은 정리에 의해 전부 중복값을 두 개 이하만 가질 수 있다는 사실(Fact 6)을 이용한다.

주요 결과는 Theorem 1에 정리된다. (i) (f)가 어떤 복소값 (a) 를 전부 중복값으로 갖는다면, (f(M_n(\mathbb C))=M_n(\mathbb C)\setminus E_a) 이다. 여기서 (E_a)는 고유값 (a) 를 갖는 모든 행렬의 집합이다. (ii) 전부 중복값이 없고, (f)가 모든 복소값을 취한다면 상은 전부 (M_n(\mathbb C)) 가 된다. (iii) 전부 중복값이 정확히 하나 (a) 일 때, 상은 (M_n(\mathbb C)\setminus S_{f,a}) 이며, (S_{f,a})는 (S_a) (고유값 (a) 를 갖고 비자명 조던 블록을 포함하는 행렬)의 부분집합이다. 특히 모든 근의 중복도가 (n) 이상이면 (S_{f,a}=S_a) 가 된다. (iv) 전부 중복값이 두 개 (a,b) 일 경우, 상은 (M_n(\mathbb C)\setminus (S_{f,a}\cup S_{f,b})) 이며, (n\ge3) 에서는 각각이 비어 있지 않은 부분집합이 된다.

증명은 네 가지 ‘Fact’에 기반한다. Fact 1은 행렬 유사 변환에 대한 불변성을, Fact 2는 조던 블록에 대한 함수 적용 공식을, Fact 3은 블록 대각 행렬에 대한 함수 적용을, Fact 5는 상삼각 행렬의 조던 형태 판정 조건을 제공한다. 이를 통해 (f(X)=A) 의 해 존재 여부를 ‘고유값 (a)’와 (f’(z_a)\neq0)’ 조건으로 환원한다. 전부 중복값이 존재하면 해당 고유값을 갖는 행렬 중 비자명 조던 블록을 가진 것들은 상에서 제외된다.

마지막으로 저자는 구체적인 예시를 제시한다. 2차 다항식은 전부 중복값을 하나만 갖고, (P(z)=z^k(z-1)) 은 전부 중복값이 없으며, 사인 함수를 이용한 (f(z)=\frac{a-b}{2}\sin(cz+d)+\frac{a+b}{2}) 는 정확히 두 전부 중복값을 만든다. 또한 피카르 대정리와 네반린나 이론을 연결해 전부 중복값이 존재할 때의 근 구조를 설명한다.

전체적으로 논문은 복소 전체함수와 행렬 이론을 결합해 피카르 정리의 행렬 버전을 정밀히 기술하고, 전부 중복값의 존재 여부에 따라 행렬 상이 어떻게 달라지는지를 명확히 규정한다.