비자율 지연 미분 방정식의 가우시안 합 해법

초록

본 논문은 시간에 따라 계수가 변하는 단순 비자율 지연 미분 방정식 dX/dt + a t X(t)=b X(t‑τ) 에 대해 전체 실시간 구간에서 정확한 해를 구한다. 해는 서로 다른 피크 위치를 갖는 가우시안 형태의 함수들의 합으로 표현되며, a>0일 때만 푸리에 변환이 가능하고 전역적 안정성을 가진다. 또한 급수 전개와 복소 적분을 이용해 해의 물리적 의미와 최대값·엔벨로프 특성을 분석한다.

상세 분석

이 연구는 비자율 지연 미분 방정식(DDE) dX/dt + a t X(t)=b X(t‑τ) 에 대해 전통적인 수치·근사 방법을 넘어선 완전 해를 제시한다는 점에서 학문적 의의가 크다. 먼저 a>0인 경우, 방정식의 두 번째 항 b X(t‑τ) 가 t→∞에 지배적이지 않으며, 주된 동역학은 dX/dt = –a t X 이라는 가우시안 형태의 감쇠 항에 의해 결정된다. 이때 해는 X(t)=C exp(–½ a t²) 와 같이 t에 대한 가우시안으로 시작한다. τ>0인 경우 푸리에 변환을 적용하면 주파수 영역에서 iω X̂(ω)+i a ∂X̂/∂ω = b e^{–iτω} X̂(ω) 이라는 일차 선형 미분 방정식이 도출되고, 이를 풀어 X̂(ω)=C exp