균형독립 수동 부족 시스템의 기하학적 패시베이션 및 협동 제어

논문은 먼저 균형독립 패시비티(EIP)와 그 한계를 소개한다. 기존 EIP는 모든 강제 평형에 대해 패시브이며 정상 상태 입력‑출력 관계가 연속적이고 단조함을 전제한다. 그러나 단일 적분기와 같이 평형이 다중 출력을 가질 경우 EIP에 포함되지 않는다. 이를 보완하기 위해 최대 균형독립 패시비티(MEIP)가 도입되었으며, 이는 정상 상태 관계가 최대 단조(maximally monotone)인 경우를 다룬다. 하지만 MEIP도 여전히 시스템이 실제로 패시브라는 가정을 필요로 한다. 다음으로 저자들은 수동 부족을 정량화하는 입력‑출력(ρ, ν)-패시비티 지수를 정의한다. 시스템이 어떤 평형 (u, y) 에 대해 ρ·ν<¼을 만족하는 부등식(4)를 만족하면, 그 시스템은 EI‑IOP(ρ, ν) 즉, 균형독립 입력‑출력 패시비티를 가진다. ρ와 ν가 모두 음수인 경우는 전형적인 수동 부족 시스템, 즉 EIPS에 해당한다. 핵심 기여는 이러한 EIPS 시스템에 대해 기하학적 패시베이션 변환을 설계하는 것이다. 먼저 시스템의 정상 상태 관계 k⊂ℝ²를 조사하고, ρ와 ν에 의해 정의되는 PQI  ρ(y−y₀)² + ν(u−u₀)² − (y−y₀)(u−u₀) ≤ 0 를 도출한다. 이 부등식은 (u, y) 평면에서 두 직선이 만드는 원뿔 영역을 나타내며, k는 반드시 이 원뿔 안에 존재한다. 저자들은 원뿔을 선형 변환 T로 회전·스케일링하여, 변환된 좌표 (ũ, ŷ)=T(u, y) 가 단조 관계 ŷ=φ(ũ)를 만족하도록 만든다. 변환 T는 행렬  T =