로그리듬 개선을 통한 정지 나비에‑스토크스 방정식의 리우빌리티 정리

초록

본 논문은 3차원 정지 나비에‑스토크스 방정식의 해가 무한대에서 특정 로그 가중된 (L^{p}) 성장 조건을 만족하면 반드시 영임을 보이는 새로운 리우빌리티 정리를 제시한다. 기존 결과에 비해 (p)‑구간 (\frac32<p<3)에서 로그 인자를 하나 추가함으로써 가정이 약화되었다.

상세 분석

논문은 먼저 정지 나비에‑스토크스 방정식 (-\Delta u+(u\cdot\nabla)u+\nabla\pi=0,\ \operatorname{div}u=0) 의 매끄러운 해 (u)에 대해 기존의 리우빌리티 정리들이 요구하던 (L^{p})‑노름의 성장 제약을 재검토한다. 기존 연구들(갈디, 세레긴‑왕, 차이‑월프 등)은 (u\in L^{p}) 혹은 (u=\operatorname{div}V) 형태의 텐서 조건을 이용해 (p)‑구간 ((\frac{12}{5},3)) 혹은 ((\frac32,3))에서 (u\equiv0)임을 증명하였다. 특히, 방정식의 비선형 항을 다루기 위해서는 에너지 추정과 지역적인 컷오프 함수 (\varphi_{r,R}) 를 활용한 가중 에너지 (E(\rho)=\int_{\mathbb R^{3}}|\nabla u|^{2}\eta(|x|/\rho),dx) 를 정의하고, 그 미분식 (E’(\rho)=4\rho^{2}\int_{S(\rho)}|\nabla u|^{2}|x|,dS) 를 얻는다.

핵심은 구역 (S(\rho)={x: \frac34\rho\le|x|<\rho}) 위에서의 (L^{p})‑노름이 (\rho^{\frac{2}{p}-\frac13}(\log\rho)^{\frac{3}{p}-1}) 로 제한될 때, 에너지 불등식과 Young, Hölder, Poincaré–Sobolev 부등식을 적절히 결합하면 (|\nabla u|{L^{2}(B(p^{3}\rho))}) 가 (\rho) 의 거듭제곱과 로그 인자의 조합으로 상한을 갖는다. 이때 Lemma 6, 7에서 얻은 정밀한 추정식은 (|\nabla u|{L^{2}}\lesssim M^{\frac{3}{2p-3}}(\log\rho)^{\frac{3(3-p)}{2p-3}}) 형태이며, 여기서 (M)은 가정 (4)에서 등장하는 상수이다.

다음 단계에서는 Lemma 3‑5 로부터 얻은 에너지 불등식 (E(2\rho)\lesssim \rho^{-1}|u|{L^{2}}(S(2\rho))|\nabla u|{L^{2}}(S(2\rho))+\rho^{-1}|u|{L^{3}}^{2}(S(2\rho))) 를 이용한다. 앞서 얻은 (|\nabla u|{L^{2}}) 추정과 로그 가중된 (L^{p}) 가정으로부터 (E(\rho)) 가 (\rho) 와 (\log\rho) 의 조합에 의해 급격히 증가하지 않음을 보인다. 결국 (E(\rho)) 가 양수라면 (\frac{d}{d\rho}\log E(\rho)) 가 (\frac{1}{\rho\log\rho}) 보다 크게 되지 않으므로, 적분을 통해 (E(\rho)) 가 유계임을 얻는다. 그러나 에너지 정의에 의해 (E(\rho)) 가 무한히 커져야 하는 경우와 모순이 발생한다. 따라서 가정 (4)를 만족하는 비자명 해는 존재하지 않으며, (u\equiv0) 임을 결론짓는다.

이와 같이 논문은 기존 결과에 비해 로그 인자를 하나 추가함으로써 (L^{p}) 성장 조건을 완화하고, 정밀한 에너지 추정과 반복 레마를 결합해 최적에 가까운 리우빌리티 정리를 얻었다.