수학 상수 공식을 자동으로 발견하는 새로운 비지도 학습 방법

초록

본 논문은 다항식 연속분수(PCF)의 수렴 동역학을 기반으로 한 메트릭을 도입해, 수천 개의 후보 식을 자동으로 군집화하고 라벨링한다. 이를 통해 π, ln 2, 가우스 상수, 레미니케이트 상수 등에 대한 기존에 알려지지 않은 새로운 공식들을 발견했으며, 동역학 메트릭이 공식 간 거리 정의에 유용함을 입증한다.

상세 분석

이 연구는 “수학 상수 공식 발견”이라는 전통적으로 인간 직관에 의존하던 문제에 데이터‑드리븐 접근을 적용한 최초 사례라 할 수 있다. 핵심 아이디어는 공식 자체의 계수나 수치값이 아니라, 그 공식이 생성하는 유리수 열(pₙ/qₙ)의 수렴 과정에서 추출되는 동역학적 특성을 거리 척도로 활용한다는 점이다. 구체적으로 저자들은 다음과 같은 메트릭을 정의한다.

1. 불확정성 지수(irrationality measure) δ – 전통적으로는 극한값 L을 알아야 계산되지만, 저자는 Blind‑δ 알고리즘과 δ‑Predictor 식(λ₁/λ₂와 ˜qₙ의 성장률을 이용)으로 L을 모르는 상황에서도 δ를 추정한다. 이는 수천 개의 PCF에 대해 일관된 δ 값을 제공해 군집화에 핵심적인 역할을 한다.

2. 수렴 속도 파라미터(η, γ, β) – 근사 오차 ε(n)=|pₙ/qₙ−L|를 n!·η·e^{γn}·n^{β} 형태로 피팅해, 지수·다항·계승 성분을 분리한다. 이 파라미터들은 공식이 얼마나 빠르게 수렴하는지를 정량화하며, 서로 다른 수렴 양상을 가진 공식들을 구분한다.

3. 분모 성장 파라미터(η′, γ′, β′) – ˜qₙ 자체의 성장률을 동일한 형태로 모델링한다. 분모가 급격히 커지는 경우와 완만히 커지는 경우를 구분함으로써, 동일한 δ 값을 갖더라도 다른 “수렴 경로”를 가진 식들을 구별한다.

이 세 가지 메트릭을 1,543,926개의 수렴하는 PCF에 대해 계산한 뒤, HDBSCAN이라는 밀도 기반 계층 군집화 알고리즘을 적용한다. 군집 내부에서는 대부분 동일한 상수에 수렴하는 식들이 모여 있음을 확인했으며, 기존 문헌에 등재된 공식들을 “앵커(anchor)”로 사용해 군집 라벨링을 자동화한다. 라벨링되지 않은 군집에 대해서는 무작위 샘플을 PSLQ(정밀 정수 관계 탐색)와 대조해 새로운 상수와의 연결을 시도한다.

실험 결과, π, ln 2, 가우스 상수(G), 레미니케이트 상수(L) 등에 대해 기존에 알려지지 않은 10여 개의 새로운 PCF를 발견했다. 특히 발견된 공식들은 기존에 알려진 형태와는 다른 다항식 구조를 가지고 있어, “동일 상수에 대한 무한 가족”이라는 새로운 수학적 구조를 제시한다.

또한, 메트릭 자체가 수학적 의미를 갖는다. 예를 들어 δ=1인 군집은 대부분 초등적인 초월수(π, e 등)와 연결되며, δ>1인 군집은 보다 “잘 수렴하지 않는” 수를 암시한다. 이러한 관찰은 기존의 무리수 이론과도 연계될 가능성을 열어준다.

마지막으로 저자들은 현재의 군집‑라벨링 파이프라인을 기반으로, 사용자가 원하는 수렴 속도·불확정성 조건을 입력하면 해당 조건을 만족하는 새로운 PCF를 생성하는 생성 모델(generative model) 개발을 목표로 제시한다. 이는 수학적 상수에 대한 새로운 공식을 탐색하는 과정을 완전 자동화하는 길을 열어준다.