단일 2 셀 복합체와 비레잉턴 쌍의 새로운 예시

초록

저자들은 하나의 2-셀을 갖는 복합체 K와 보다 복잡한 복합체 L을 구성하고, 두 복합체가 동일한 무한 보편적 커버링을 가지지만 유한한 공통 커버링은 존재하지 않음을 보인다. 핵심은 Baumslag‑Solitar 군 BS(2,4)와 BS(4,16)의 비가환성(비통합성)이다.

상세 분석

Leighton 정리는 유한 그래프 두 개가 공통 커버링을 가질 경우 유한한 공통 커버링도 존재한다는 고전 결과이며, 이후 다양한 일반화와 증명이 제시되었다. 2‑차원 CW‑복합체에서는 이 정리가 성립하지 않음이 알려졌으며, 최초 예시는 6개의 2‑셀을 가진 복합체 쌍이었다. 이후 연구는 그 수를 차례로 4, 2개까지 감소시켰지만, 1개의 2‑셀만을 가진 비레잉턴 쌍이 존재하는지는 미해결이었다. 본 논문은 이 질문에 “거의 답”을 제시한다. 복합체 K는 표준 프레젠테이션 ⟨c,d | c²d = c⁴⟩을 갖는 Baumslag‑Solitar 군 BS(2,4)의 1‑정점 2‑셀 복합체와 동형이며, 이는 Leighton 정리의 적용을 받지 못한다는 점에서 “Leighton이 될 수 없는” 특성을 가진다. K에 단순히 한 변(edge)을 추가해 2‑셀을 두 개로 만든 복합체 K′는 L과 공통 무한 커버링을 공유한다. L은 두 정점(흑·백)과 6개의 변, 4개의 2‑셀(A,B,C,D)로 구성되며, 그 기본군은 ⟨c₀,c₁,y,t |