소시간 중심극한정리와 마코프 상승을 통한 변동성 모델 혁신

초록

본 논문은 Hölder 연속 계수를 갖는 확률적 Volterra 적분 방정식(SVIE)에 대해 작은 시간 구간에서의 중심극한정리(CLT)를 확립하고, 함수형 CLT와 변환된 과정에 대한 결과를 제시한다. 또한 완전 단조 커널에 대해 Hilbert 공간값 마코프 상승을 구성하고, 해당 상승에 대한 유사한 CLT를 증명한다. 이론적 결과는 거친 변동성 모델에서 실현 변동성 디지털 옵션의 소만기 가격 근사식으로 적용된다.

상세 분석

본 연구는 두 가지 주요 축으로 전개된다. 첫 번째는 일반적인 Volterra 커널 K∈L²_loc(ℝ₊)와 Hölder 연속성(지수 χ_b, χ_σ∈(0,1])을 만족하는 드리프트 b와 확산 σ를 갖는 SVIE
X_t = x₀ + ∫₀ᵗ K(t−s) b(X_s) ds + ∫₀ᵗ K(t−s) σ(X_s) dB_s
에 대해 작은 시간 t→0에서의 중심극한정리를 구축한다. 핵심 가정은 (1.4)식에서 제시된 커널의 로컬 L² 적분 성장 조건이며, γ,γ가 존재해 t^{2γ} ≤ ∫₀ᵗ K(s)² ds ≤ t^{2γ} 로 제어된다. 이 조건은 Riemann‑Liouville 커널 K_H(t)=c_H t^{H−½} (H>0)와 지수 감쇠형 커널 등 폭넓은 사례를 포괄한다.

정리 2.2는 초기값 x_n→x와 σ(x)≠0을 가정하에, 정규화 인자 λ(n)= (∫₀¹ K(r)² dr)^{-½} 를 사용해
p_λ(n)(X_{t_j/n}^{(n)}−x_n){j=1}^N ⇒ (Y{σ,∞}(t_j)){j=1}^N,
여기서 Y{σ,∞}(t)=σ(x)∫₀ᵗ K(t−s) dB_s 로 정의된 가우시안 과정이다. 핵심 증명은 (i) 커널의 스케일링 한계식 (2.7)과 (ii) λ(n)과 K의 적절한 수렴을 이용한 연속성 확보, (iii) Jenson 부등식과 순간 추정(Prop. 2.1)을 통해 비가우시안 잔차 Z_t를 고차 모멘트에서 소멸시킴으로써 이루어진다.

함수형 CLT(Corollary 2.3)는 위 결과를 C