무작위성 감소 로드밸런싱: 확장 그래프 위 비백트래킹 랜덤워크

** 본 논문은 대규모 서버 팜에서 작업을 할당할 때 필요한 난수량을 최소화하면서도 부하 균형 성능을 유지할 수 있는 새로운 디스패칭 알고리즘을 제안한다. 전통적인 파워‑오브‑$d$ 선택은 매 작업마다 $d$개의 서버를 독립적으로 균등 샘플링하고, 가장 짧은 큐를 선택한다. 이 방법은 $\Theta(d\log n)$ 비트의 난수가 필요하며, 실제 시스템에서는 난수 생성 비용과 통신 오버헤드가 문제가 된다. 이를 해결하기 위해 저자들은 서버들을 $k$‑정규 그래프 $G$(정점 수 $n$, 차수 $k\ge3$) 위에 배치하고, 각 작업 도착 시 $d$개의 독립 비백트래킹 랜덤워크(NBRW)를 시작한다. 각 워크는 현재 정점에서 $k-1$개의 이웃 중 하나를 균등하게 선택해 이동한다(첫 단계는 $k$개의 이웃 중 하나). 워크가 멈춘 정점들의 큐 길이를 확인하고, 가장 짧은 큐에 작업을 할당한다. 이 과정에서 사용되는 난수는 각 워크가 다음 이웃을 선택할 때만 필요하므로, 전체 난수 사용량은 $O(d)$에 불과하다. 알고리즘의 정확성을 보이기 위해 다음과 같은 가정을 둔다. 그래프 $G$는 $\lambda$‑expander이며, girth가 $\Omega(\log n)$인 고지름 그래프이다. 이러한 조건은 Ramanujan(LPS) 그래프 등에서 만족한다. 고지름은 비백트래킹 워크가 최근 방문한 정점을 피하도록 보장해, 워크가 짧은 시간 안에 서로 다른 정점들을 탐색하게 만든다. 또한, expander 특성은 워크가 $O(\log n)$ 단계 이후 거의 균등 분포에 수렴함을 의미한다. 논문은 먼저 워크의 전이 확률을 정밀하게 추정한다(Lemma 2). $t\ge c\log n$이면 모든 시작점과 중간점에 대해 $|P^{(t)}_{u_1,v|u_0}-1/n|\le 1/n^2$가 성립한다. 이를 통해 워크가 독립적인 균등 샘플링을 모방한다는 사실을 수학적으로 확보한다. 다음으로, 시스템 전체의 큐 길이 비율 $X_i^{(n)}(t)$(길이 $i$ 이상인 서버 비율)의 동역학을 마팅게일 분해한다. 워크 의존성 때문에 전통적인 Kurtz 정리는 적용되지 않으며, 저자들은 마팅게일 보정항을 직접 구성하고, 그 크기가 $O(\log n / n)$ 이하임을 보인다. Grönwall 부등식을 이용해 $n\to\infty$일 때 $X_i^{(n)}(t)$가 기존 파워‑오브‑$d$ 선택에서 얻어지는 ODE \