두 퀘터니언 자세 추정 문제에 대한 해석적 해법

본 연구는 두 가지 전형적인 퀘터니언 자세 추정 문제에 대해 기하학적 접근을 적용하여 해석적(analytic) 해를 제시한다. 첫 번째 문제는 두 개의 기준 벡터 \(h, k\) 를 각각 몸체 고정 프레임에서 측정한 값 \(a, b\) 를 이용해 자세를 추정하는 것이다. 기존 문헌에서는 TRIAD, QUEST, DAVENPORT q‑method 등 선형대수적 방법이 널리 사용되어 왔으며, 이들 모두 최적화된 최소제곱 해를 구하지만, 비선형 제약을 직접 포함하기는 어렵다. 저자는 각 측정이 정의하는 ‘가능성 원뿔’ \(Q_a, Q_b\) 을 도입하고, 두 원뿔 사이의 최소 거리 사원수를 구함으로써 두 후보 \(\hat q, \hat p\) 을 얻는다. 이후 선형 구면 보간(Slerp)과 가중 평균을 통해 최종 자세 사원수 \(q^\*\) 를 산출한다. 이 과정은 기존 QUEST와 수치적으로 동일한 결과를 제공하면서도, 원뿔 개념을 통해 직관적인 기하학적 해석을 가능하게 한다. 두 번째 문제는 각속도 \(\omega\) 와 단일 기준 벡터 \(h\) 측정을 동시에 이용해 자세를 추정하는 경우이다. 각속도는 퀘터니언 미분 방정식 \(\dot q = \frac12 q \otimes \omega\)에 따라 적분되어 ‘데드‑레킹’ 사원수 \(p\)를 만든다. 그러나 센서 노이즈와 바이어스 때문에 \(p\)는 시간이 지남에 따라 실제 자세와 점차 멀어지게 된다. 여기서 단일 벡터 측정 \(b\)는 자세가 반드시 만족해야 할 제약 \(q \in Q_b\) 을 제공한다. 저자는 \(q\)가 원뿔 \(Q_b\) 에 속하면서 \(p\)와의 유클리드 거리 \(\|q-p\|^2\)를 최소화하도록 라그랑주 승수법을 적용한다. 이로부터 얻은 해는 \