적응형 백스테핑을 이용한 비정상 비선형성을 가진 분수 차수 시스템 제어

1. 서론 실제 제어 시스템에서는 기계·전기 부품의 물리적 한계 때문에 포화와 데드존과 같은 비정상 비선형성이 흔히 발생한다. 기존 연구는 주로 정수 차수 시스템에 초점을 맞추었으며, 포화와 데드존을 각각 별도로 다루거나 선형 근사(섹터 제한)만을 적용했다. 분수 차수 시스템(FOS)은 메모리 효과와 비선형 동특성을 더 정확히 모델링하지만, 이러한 비정상 비선형을 동시에 고려한 제어 방법은 거의 없었다. 본 논문은 이러한 공백을 메우기 위해 입력 비선형을 두 단계로 분해하고, 적응형 백스테핑을 이용해 포화와 교란을 동시에 보상하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 2. 문제 정의 및 기본 가정 시스템(1)은 비정규화된 비동일 차수(FOS) strict‑feedback 형태이며, 입력 u(v)는 포화와 데드존을 동시에 포함한다. 파라미터 b, m, U_up, U_low, b_l, b_r 중 일부는 완전히 미지일 수 있다. 가정 1은 입력 이득 b의 부호가 알려져 있다는 것이고, 가정 2는 기준 신호 r와 그 α‑계열 미분이 유계·조각 연속임을 전제한다. Caputo 정의를 채택해 초기 조건 처리와 라플라스 변환의 편리함을 확보한다. 3. 사전 지식 Lemma 1은 분수 차수 미분 방정식을 무한 차원의 주파수 분포 모델로 변환한다. 이를 통해 Lyapunov 분석 시 실제 상태 대신 분포 상태 z(ω,t)를 사용한다. Lemma 2는 포화 보상을 위한 Fractional‑Order Tracking Differentiator(FO‑TD)의 수렴성을 제시한다. 4. 모델 변환 및 입력 분해 식(7)의 스케일링 변환을 통해 시스템을 연쇄형 형태(8)로 정규화한다. 이후 중간 변수 w를 도입해 u(v)=u