리튬이온 배터리 비이상 선형 운영 모델: 효율·전력 한계의 상태 의존성 구현

본 논문은 전력 시스템 운영 및 계획 모델에서 전기 에너지 저장장치(EES)를 표현할 때 흔히 사용되는 두 가지 가정—충·방전 효율이 고정되고, 전력 한계가 SOC와 무관하다는 가정—이 실제 배터리 동작을 크게 오도한다는 점을 지적한다. 이를 해결하기 위해 저자들은 리튬이온 배터리의 정상 상태(steady‑state) 동작을 정밀하게 기술한 비이상(Non‑ideal) 모델을 제시하고, 이를 이진 변수 없이 선형화하여 전력 시스템 최적화에 바로 적용 가능한 형태로 변환한다. 1. **배터리 전기·화학 등가 회로 모델** 연구는 Berrueta et al.(2014)의 실험 기반 등가 회로를 기반으로 한다. 회로는 전압원 v_eq와 세 개의 저항(R_ohm, R_ct, R_dif,mem)으로 구성된다. 각 요소는 SOC와 온도(T)의 함수로 정의된다. - **평형 전압(v_eq)**은 Nernst 방정식과 비이상 상호작용 전압(v_INT)을 포함한 식(1)로 표현되며, 전극의 몰분율 χ와 χ_ctd를 SOC에 따라 선형적으로 변환한다. - **저항 요소**는 R_ohm = R_ohm,0 + R_ohm,T·T + R_ohm,SOC·SOC, R_ct는 전하 전달 저항으로 전해질·전극 인터페이스(SEI) 특성을 반영하고, R_dif,mem·R_dif,elec은 온도 의존적인 확산 저항을 나타낸다. 2. **비선형 전력·효율 관계 도출** 전류 i와 전하 효율 η_c를 이용해 전극 표면 SOC(SOC_sur)를 식(8)로 정의한다. SOC_sur는 실제 전류 흐름에 따라 SOC보다 감소하거나 증가한다. 충·방전 과정에서 SOC_sur의 하한·상한을 각각 0과 1로 제한함으로써, 전류 한계 I_cha/dis를 구한다. 이 과정은 2차 방정식(12)·(13)을 풀어 최대 전류 I_cha0, I_dis0을 구하고, 제조사에서 제시하는 C‑rate 제한(I_cha/dis_c‑rate)과 비교해 최종 전류 제한을 결정한다(I_cha/dis = min{I_cha/dis0, I_cha/dis_c‑rate}). 3. **비선형 모델의 선형화** 위에서 얻은 전류·SOC 의존 전력 한계와 효율 곡선은 일반적으로 비컨벡스 형태이며, 직접 최적화에 사용하면 계산 복잡도가 급격히 증가한다. 저자는 이를 해결하기 위해 두 단계의 선형 근사를 적용한다. - **곡선 상한·하한 포락**: 전력‑SOC 곡선의 상한과 하한을 각각 다수의 샘플 포인트(J, K)에서 선형 보간하여 부등식 형태로 표현한다. - **효율 선형화**: 충·방전 효율 η(SOC,P)를 SOC와 전력의 곱 형태로 근사하고, 이를 추가적인 선형 제약으로 변환한다. 이 과정에서 이진 변수나 큰 M 상수를 도입하지 않으며, 모든 제약은 선형(또는 부등식) 형태로 유지된다. 4. **모델 검증 및 비교 실험** 제안된 선형 비이상 모델을 24버스 전력망의 일일 경제 디스패치(ED) 문제에 적용하였다. 비교 대상은 다음과 같다. - **완전 비선형(비컨벡스) 모델**: 원본 등가 회로 기반 모델을 그대로 사용, 계산량이 가장 많음. - **전통적 이상 모델**: 고정 효율(η=0.95)과 고정 전력 한계(F_max)만을 사용, 대부분의 연구에서 표준으로 채택. - **MILP 기반 조각선형화 모델**: 기존 연구에서 제시된 이진 변수와 조각선형화 기법을 사용. 실험 결과, 선형 비이상 모델은 계산 시간 면에서 이상 모델 및 MILP 모델과 거의 차이가 없으며, 최적화 해의 품질에서는 완전 비선형 모델과 거의 동일한 수준을 보였다. 특히, 이상 모델을 사용할 경우 배터리의 실제 가용 에너지보다 평균 12 % 정도 과대평가되는 것으로 나타났다. 이는 SOC가 낮은 구간에서 방전 전류 제한이 크게 감소하고, 효율이 감소하는 현상을 무시했기 때문이다. 5. **확장성 및 실용성** 제안된 모델은 파라미터(전압, 저항, η_c 등)를 실험 데이터나 고급 전기화학 시뮬레이션 결과로 교체하면, NMC, LFP 등 다양한 화학계열 배터리에도 적용 가능하도록 설계되었다. 온도 의존성을 추가하고 싶을 경우, 온도에 대한 선형 보간을 추가하면 동일한 선형 최적화 구조를 유지할 수 있다. 따라서 실시간 전력 시장 운영, 대규모 배터리 집합체(예: V2G) 최적화 등에 바로 활용할 수 있다. **결론**적으로, 이 논문은 배터리 내부 전기·화학 메커니즘을 수학적으로 정형화하고, 이를 이진 변수 없이 선형 최적화에 효율적으로 통합함으로써 전력 시스템 운영 시 배터리 활용도를 보다 정확히 예측하고, 과대평가에 따른 경제적·신뢰성 손실을 방지한다는 중요한 기여를 한다.