MATLAB로 구현한 3링크 아크로봇 스윙업 최적화

** 본 논문은 2‑링크와 3‑링크 아크로봇의 스윙업 문제를 MATLAB 기반으로 해결하는 과정을 상세히 기술한다. 먼저, 아크로봇은 한쪽 관절에만 구동기가 부착된 2‑링크 언더액추에이티드 로봇으로 정의된다. 저자는 라그랑주 방정식 \( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i \) 를 이용해 2‑링크 시스템의 운동에너지를 \(T\)와 위치에너지 \(U\) 로 표현하고, 이를 통해 질량 행렬 \(M(q)\), 코리올리·원심 행렬 \(C(q,\dot q)\), 중력 벡터 \(\tau_g(q)\) 를 명시적으로 도출한다. 도출된 식은 전통적인 Manipulator 형태 \(M(q)\ddot q + C(q,\dot q)\dot q = \tau_g(q) + B u\) 로 정리되며, 여기서 제어 입력 매트릭스 \(B\)는 두 번째 관절에만 비제로 값을 갖는다. 이를 4차 상태공간 \(\dot x = f(x,u)\) 로 변환하기 위해 질량 행렬을 확대한 4×4 형태의 \(M_{\text{ass}}(q)\) 를 구성한다. MATLAB의 ODE45와 `odeset('Mass',@mass)` 옵션을 사용해 질량 행렬이 포함된 미분 방정식을 직접 통합함으로써, 수동 시스템(구동기 없이)의 자연 진동을 시뮬레이션하고 모델의 정확성을 시각적으로 검증한다. 다음으로, 논문은 3‑링크 아크로봇을 확장한다. 각 링크에 질량 \(m_i\)와 길이 \(l_i\)를 부여하고, 라그랑주 방정식을 동일하게 적용한다. 결과적으로 6차 상태공간(각 관절 각도와 각속도)으로 확장되며, 질량 행렬 \(M(q)\)와 코리올리 행렬 \(C(q,\dot q)\)는 6×6 차원으로 복잡하게 구성된다. 저자는 각 행렬 원소를 식별하고, 이를 MATLAB 코드에 직접 구현한다. 3‑링크 시스템은 완전 구동(세 관절 모두에 토크)으로 모델링되지만, 아크로봇 특성에 맞게 첫 번째 구동을 0으로 고정한다. 제어 설계는 직접 콜로케이션(Direct Collocation) 기반 궤적 최적화로 수행된다. 시간 구간을 \(N\)개의 동일한 단계로 나누고, 각 단계에서 상태 \(x_k\)와 제어 \(u_k\)를 결정 변수로 설정한다. 동역학 제약은 결함 변수 \(\zeta_k = x_{k+1} - x_k - h f(x_k,u_k)\) 로 표현되어 NLP(Non‑Linear Programming) 문제에 포함된다. 초기 상태와 목표 상태(각도 \(