존재성·생존성·판별 커널의 줌토프 스케일링 기반 하위근사

**1. 서론 및 연구 배경** 안전 검증은 동적 시스템이 주어진 제약을 위반하지 않도록 보장하는 핵심 문제이며, 전통적으로는 샘플링 기반 시뮬레이션보다 수학적으로 엄밀한 ‘도달 가능성(Reachability)’ 분석이 선호되어 왔다. 선형·선형 근사 시스템에 대해서는 수천 차원의 상태 공간을 다룰 수 있는 효율적인 알고리즘이 존재한다. 그러나 도달 가능성은 보통 입력·교란을 최악 경우(worst‑case)로 가정해 집합을 과잉근사(오버‑앱록시메이션)한다. 반면 ‘생존성(Viability)’은 제어 입력을 최적 선택(best‑case)하고 교란을 최악 경우로 다루어야 하므로, 안전 검증을 위해서는 ‘하위근사(언더‑앱록시메이션)’가 필요하다. 두 접근법은 이론적으로는 상호 변환 가능하지만, 파라메트릭 집합 표현(예: 구형, 줌토프)은 보통 볼록 집합에 제한돼 보완이 어려워 실제 적용이 제한된다. 따라서 두 분석을 각각 효율적으로 수행할 수 있는 파라메트릭 기법이 요구된다. **2. 문제 정의 및 목표** 논문은 이산시간 선형(affine) 시스템 x(t+1)=A x(t)+B u(t)+C v(t)+w 을 고려한다. 여기서 u는 제어 입력(구간형), v는 적대적 교란(줌토프), w는 상수 드리프트이다. 상태 제약 X는 하이퍼박스 형태로 가정한다. 목표는 다음 세 집합을 하위근사하는 것이다. - **존재성(Invariant) 집합**: 교란만 존재, 제어 없음. 모든 교란에 대해 X 안에 머무는 초기 상태 집합. - **생존성(Viable) 집합**: 제어 입력만 존재, 교란 없음. 적절한 제어 선택으로 X 안에 머무는 초기 상태 집합. - **판별(Discriminating) 집합**: 제어와 교란이 모두 존재. 제어는 최선, 교란은 최악으로 가정해 X 안에 머무는 초기 상태 집합. 각 집합은 ‘유한 시간(0…T)’에 대해 정의되며, 정확히 구하면 ‘커널(kernel)’이라 부른다. 논문은 이 커널을 줌토프 형태로 스케일링하고, 선형/볼록 최적화를 통해 하위근사한다. **3. 줌토프 기본 이론** 줌토프 S는 중심 c와 p개의 생성자 d_i 로 정의된다. 중심‑생성자 표기법(G‑repr)으로 S = {c + G λ | ‖λ‖_∞ ≤ 1} 로 나타낸다. 선형 변환 M에 대해 M S = {M c + M G λ} 로 닫힌 형태를 유지한다. 줌토프가 하이퍼박스 B에 포함되는 조건은 c ± |G|·1·p ≤ B 로 간단히 표현된다(정리 3.1). **4. 존재성 집합 계산** - **입력 없음(교란도 없음)**: 줌토프 I = {α, G(I) Γ} 로 정의, 여기서 Γ는 스케일 행렬(diag(γ)). 시스템 전파에 따라 R(t, I)의 중심·생성자는 A^t α와 A^t G(I) Γ 로 구한다. - **제약 조건**: 모든 t∈