협동 게임의 낙관·비관 접근법과 외부성 분석

초록

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본 논문은 협동 게임에서 외부성(negative·positive)을 고려한 낙관적·비관적 가치 함수와, 이들이 “먼저 선택”·“나중에 선택” 전략과 언제 일치하는지를 체계적으로 규명한다. 특히 부정적 외부성 하에서는 낙관값이 먼저 선택, 비관값이 나중 선택에 정확히 대응함을 보이며, 이 경우 낙관값의 안티코어가 비관값의 코어에 포함되고 두 집합이 모두 비공집합이 아님을 증명한다. 긍정적 외부성에서는 대응 관계가 부분적으로만 성립하고, 비어 있을 가능성도 존재한다. 이론적 결과를 큐잉, 최소비용 신장트리, 강물 공유 등 다양한 응용에 적용해 기존 결과를 재해석하고 새로운 결론을 도출한다.

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상세 분석

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이 논문은 협동 게임 이론에서 외부성으로 인해 전통적인 특성함수 형태가 불완전해지는 문제를 “실현 가능 외부성(feasibility externalities)”이라는 일반화된 프레임워크로 접근한다. 여기서 각 플레이어 i는 행동 집합 A_i를 가지고, 다른 플레이어들의 행동에 따라 자신이 선택할 수 있는 실현 가능 행동 집합 f_S(a_{N\S})가 달라진다. 부정적 외부성은 다른 플레이어가 행동함에 따라 자신의 실현 가능 집합이 축소되는 경우이며, 긍정적 외부성은 반대로 확대되는 경우이다.

논문은 두 가지 가치 함수, 즉 낙관적(optimistic)과 비관적(pessimistic) 값을 정의한다. 낙관적 값은 주어진 외부 집합이 협동을 방해하지 않을 최선의 시나리오(즉, 협동체가 가장 큰 실현 가능 집합을 가질 때)의 결과이며, 비관적 값은 외부 집합이 가장 불리하게 행동할 때(가장 작은 실현 가능 집합을 남길 때)의 결과이다. 저자는 이 두 값이 “먼저 선택(first)·나중에 선택(last)” 게임 순서와 언제 일치하는지를 정리한다.

1. 부정적 외부성: 여기서는 먼저 선택하는 것이 협동체에게 가장 큰 실현 가능 집합을 보장한다. 따라서 낙관적 가치가 먼저 선택에, 비관적 가치가 나중 선택에 정확히 대응한다. 이 경우, 낙관적 게임의 안티코어(A( v^opt ))는 비관적 게임의 코어(C( v^pes ))에 포함된다(A⊆C). 또한 두 집합 모두 비공집합이 아니므로, 할당이 존재함을 보장한다. 이는 기존 문헌에서 개별 사례별로 검증해야 했던 코어 비공집합성 문제를 일반적으로 해결한다.

2. 긍정적 외부성: 여기서는 먼저 선택하면 실현 가능 집합이 축소되므로 비관적 가치가 먼저 선택에 대응한다. 그러나 낙관적 가치가 나중 선택에 항상 대응하지는 않는다. 즉, 일부 협동체는 외부 집합이 먼저 행동함으로써 자신에게 유리한 실현 가능 집합을 유도할 수 있다. 따라서 안티코어와 코어 사이의 포함 관계는 “모든 협동체에 대해 낙관적 값이 나중 선택에 대응한다”는 추가 가정이 있을 때만 성립한다. 또한 코어·안티코어가 비어 있을 가능성도 존재한다.

논문은 이론적 결과를 바탕으로 코어와 안티코어의 존재성, 포함 관계, 그리고 두 게임이 서로 이중(dual)인 경우를 정리한다. 특히, 두 게임이 순서에 따라 이중이 되려면 “협동체와 그 보완집합이 순차적으로 행동해도 전체 최적 결과를 유지해야” 한다는 충분조건을 제시한다. 이는 기존의 α·β 게임이나 최소·최대 연산자 기반 접근법과 차별화되는 점이다.

마지막으로, 저자는 큐잉, 최소비용 신장트리, 강물 공유, 파산 청구, 공항 비용 분담 등 다양한 응용 분야에 모델을 적용한다. 부정적 외부성 상황에서는 기존 연구에서 별도로 증명했던 코어 비공집합성을 자동으로 확보하고, 낙관·비관 접근법을 통해 기존 결과를 재해석하거나 새로운 할당 규칙을 도출한다. 긍정적 외부성에서는 기존 결과와 일치하지 않는 경우를 명시적으로 보여주어, 외부성의 부호가 협동 게임 해석에 미치는 영향을 강조한다.

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