왼쪽 절단 이산 수명 모델: 독일 기업 패널 AFiD 분석

초록

본 논문은 독일 기업의 설립·폐업 데이터를 활용해 기업 수명을 기하분포로 모델링하고, 관측 시작 이전에 발생한 수명 부분이 왼쪽 절단된 상황에서 조건부 가능도와 마팅게일 변환을 이용해 폐업 확률 θ를 추정한다. 추정값은 10년이며, 95% 신뢰구간 폭은 약 2개월로 매우 좁다.

상세 분석

이 연구는 기업 수명을 연도 단위 이산형 변수로 보고, 폐업 확률을 일정한 파라미터 θ로 가정한 기하분포 모델을 제시한다. 핵심 문제는 패널 시작 전(2018년 이전)에 설립된 기업들의 수명이 관측되지 않아 왼쪽 절단(left‑truncated) 현상이 발생한다는 점이다. 저자들은 설립 시점과 수명 사이의 독립성을 가정하고, 관측 가능한 기업만을 조건부로 선택함으로써 설립 연도 분포에 대한 불변성을 확보한다.

조건부 가능도는 관측 시점 t 이후의 폐업 사건을 카운팅하는 프로세스 N(x)를 정의하고, 이 프로세스의 보상(compensator) A(x,θ)를 마팅게일 이론을 통해 구한다. 구체적으로 ΔN(x)의 기대값이 θ·1{X≥x}임을 이용해 N(x)−θ·x를 마팅게일로 만들고, 이를 이용해 θ의 최대가능도 추정량을 θ̂=∑1/∑(X_i−t_i) 형태로 얻는다. 여기서 t_i는 각 기업이 관측 시작 시점까지의 연령이다.

수학적으로는 조건부 가능도의 로그를 마팅게일 변환 형태로 표현하고, Lindeberg‑Levy 조건을 만족하는 독립 기업들의 합에 대해 중심극한정리를 적용해 θ̂가 일관적이며 √n(θ̂−θ)→N(0,θ(1−θ)/μ) 형태의 정규분포로 수렴함을 증명한다. μ는 관측된 위험 연령의 평균이다.

실증 부분에서는 2018·2019년 독일 통계청(AFiD) 패널에서 1.4백만 기업을 분석하였다. 왼쪽 절단을 적절히 보정한 뒤 추정된 평균 수명은 10년이며, 95% 신뢰구간 폭은 약 0.17년(≈2개월)으로 매우 정밀하다. 오른쪽 검열(2020년 이후 폐업)은 표준 생존 분석 기법으로 처리하였다.

이 논문의 주요 기여는 (1) 왼쪽 절단된 이산형 수명 데이터에 대한 조건부 가능도와 마팅게일 기반 추정법을 제시한 점, (2) 설립 연도 분포에 무관한 반변량(semi‑parametric) 추정이 가능함을 보인 점, (3) 실증적으로 독일 기업의 평균 수명이 10년이라는 구체적 정책적 인사이트를 제공한 점이다. 또한, 마팅게일 변환을 이용한 표준오차 계산이 간단하면서도 정확함을 보여, 복잡한 생존 모델을 다루는 연구자들에게 유용한 방법론적 템플릿을 제공한다.