디지털 QUBO 솔버로 3SAT 해결 효율적 변환과 성능 검증

초록

본 논문은 3‑SAT 문제를 QUBO 형태로 변환하는 2단계 절차(3‑SAT → Max 2‑SAT → QUBO)를 제안하고, 변환 과정에서 원래 3‑SAT의 만족·위반 절을 정확히 복원할 수 있음을 증명한다. 변환된 Max 2‑SAT를 디지털 QUBO 솔버에 입력해 78변수 규모의 벤치마크에서 CDCL 기반 최첨단 솔버(RC2)와 동등한 정확도를 달성함을 실험적으로 확인한다.

상세 분석

이 논문은 전통적인 CDCL 기반 SAT 솔버가 메모리와 병렬성 한계에 부딪히는 점을 지적하고, 최근 급부상한 QUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization) 솔버를 대안으로 제시한다. 핵심 기여는 (7, 10)‑가젯을 이용한 3‑SAT → Max 2‑SAT 변환이다. 각 3‑리터럴 절을 하나의 보조 변수 dₖ와 10개의 2‑리터럴 절로 대체함으로써, 원래 절이 만족될 경우 변환된 10개 절 중 7개가 만족하고, 불만족일 경우 6개가 만족한다는 정량적 관계를 확보한다. 이 관계는 테이블 II에 정리되어 있으며, 이후 선형 디오판틴 방정식 S = 7·S₃ + 6·V₃ (S₃, V₃는 원래 3‑SAT의 만족·위반 절 수) 로부터 원래 문제의 해를 역추출할 수 있음을 증명한다.

Max 2‑SAT → QUBO 단계에서는 각 절에 대해 부호 변수 vₖⱼ∈{−1,0,1}을 정의하고, 이를 이용해 위반 절 수 V(x)를 2차 다항식 형태로 전개한다. 상수항을 제거하고 2배 스케일링하면 표준 QUBO 형태 q(x)=½ xᵀQx + bᵀx + c가 얻어지며, 여기서 Q와 b는 절‑변수 관계에 따라 명시적으로 구성된다. 이 과정은 기존 QUBO 변환과 차별화되는 점은, 보조 변수 dₖ가 0 또는 1인 경우를 구분해 두 경우 모두 원래 3‑SAT의 만족·위반 절 수를 정확히 복원할 수 있다는 점이다.

실험에서는 공개된 4개 벤치마크와 난이도 높은 무작위 인스턴스를 사용해 디지털 QUBO 솔버(특히 유전 알고리즘 기반 로컬 탐색)와 RC2 CDCL 솔버를 비교한다. 평가 지표는 위반 절 수이며, QUBO 솔버는 중위값(median) 기준으로 RC2와 거의 동일한 성능을 보였다. 특히 78변수, 절‑밀도 ρ≈3.5인 인스턴스에서 QUBO 솔버가 99.2% 정확도를 달성, 기존 CDCL 솔버와 통계적으로 유의미한 차이가 없음을 확인했다.

이 논문은 두 가지 중요한 의미를 가진다. 첫째, QUBO 형태가 SAT 문제에 적용될 수 있는 구체적 변환 메커니즘을 제공함으로써, 양자 어닐링 및 양자‑영감 디지털 최적화 기법이 SAT 분야에 직접 활용될 수 있음을 보였다. 둘째, 변환 과정에서 보조 변수와 만족 절 수 사이의 선형 관계를 수학적으로 증명함으로써, QUBO 솔버가 반환한 해로부터 원래 SAT 해를 정확히 복원할 수 있음을 보장한다. 이는 향후 NISQ 수준의 양자 어닐링 하드웨어나 고성능 디지털 QUBO 엔진을 SAT 솔버의 보조 엔진으로 통합하는 연구에 기초가 될 것이다.