자유 곱의 순환 순서와 중앙 확장의 고립 순서

초록

저자들은 자유 곱 (G=F_{2n}\ast\mathbb Z_{m_1}\ast\cdots\ast\mathbb Z_{m_k}) 에 대해, (n\ge0,;k\ge1) (단, ((0,1,m_1))와 ((0,2,2,2)) 제외)에서 무수히 많은 고립 순환 순서를 구성하고, 이 순서들이 서로 자동동형에 의해 변환되지 않음을 보였다. 또한, (G)의 중앙 (\mathbb Z)-확장 (\widetilde G)에 대해 같은 방법으로 고립 좌측 순서를 무수히 만들었다.

상세 분석

이 논문은 순환 순서와 좌측 순서라는 두 종류의 순서 구조를 동역학적 실현을 통해 연결시키는 최신 기법을 활용한다. 먼저, (G=F_{2n}\ast\mathbb Z_{m_1}\ast\cdots\ast\mathbb Z_{m_k})를 (\mathrm{Isom}^+(\mathbb H^2)\cong\mathrm{PSL}(2,\mathbb R))에 삽입한다. 여기서 각 (\mathbb Z_{m_i})는 타원형 원소, (F_{2n})의 자유 생성원은 쌍곡선 원소로 선택해, 피핑-퐁(ping‑pong) 논법을 적용해 삽입이 단사임을 보인다. 삽입된 군은 원점의 경계에 예외적 최소 집합 (L_\rho)를 갖는 비최소 행동을 하며, 이때 (S^1\setminus L_\rho)의 연결 성분 중 하나를 (I_0)라 두면, 군의 모든 성분이 (G)의 작용에 의해 서로 전이된다.

핵심은 (I_0)의 안정자(subgroup)가 무한 순환군 (\langle\alpha\rangle)이며, 이 안정자는 (I_0) 위에서 선형 순서를 실현한다는 점이다. 따라서 (\rho)는 (x_{e_1}\in I_0)를 기준점으로 하는 순환 순서 (c\in CO(G))의 동역학적 실현이 된다. 이 순환 순서의 선형 부분(linear part)은 바로 (\langle\alpha\rangle)이며, 이는 논문에서 정의한 ‘convex subgroup’와 일치한다.

다음 단계에서는 (G) 안에 유한 지수의 자유 부분군 (F\subset G)를 명시적으로 구성한다. (F)는 특정한 곱셈식으로 정의된 원소들의 집합 (S_1\cup S_2)에 의해 생성되며, (\rho|_F)는 다시 피핑‑퐁을 만족한다. 따라서 (F)는 자유군이며, (\rho|_F)는 고립 순환 순서를 만들기에 충분히 복잡한 동역학을 제공한다.

고립성을 증명하기 위해 저자들은 Mann–Rivas가 제시한 실현 지도 (R:CO(G)\to\mathrm{Hom}(G,\mathrm{Homeo}^+(S^1))/!\sim)의 연속성 및 ‘예외적 최소 집합’ 조건을 활용한다. 구체적으로, (R)의 연속성으로부터 작은 이웃집합 안의 모든 순환 순서가 동일한 동역학적 실현을 공유함을 보이고, 피핑‑퐁 구조가 깨지지 않도록 하는 ‘핑‑퐁 파라미터’를 조절해 고립점을 만든다.

마지막으로, 중앙 (\mathbb Z)-확장 (\widetilde G=\langle e_i,h_j,z\mid e_i^{m_i}=z,,