펠 타워와 오스트로노미: d‑재귀수열의 새로운 건축과 수 체계

초록

이 논문은 일반적인 2차 선형 재귀 (X_{n+1}=dX_n+X_{n-1}) ( (d\ge 2) )에 대해, 콘웨이와 라이바가 발견한 피보나치 “엠파이어 스테이트 빌딩” 패턴을 확장한다. 저자는 ‘오스트로우스키 배열’이라는 새로운 표를 정의하고, (d=2) 일 때는 펠 수열과 연결된 ‘펠 타워’를, (d>2) 일 때는 보다 복잡한 ‘레드 월’과 ‘오스트로노미’ 현상을 제시한다. 또한 이 배열이 비동질 비티 시퀀스와 베이트 수열을 통해 자연수 전부를 한 번씩 나타내는 ‘d‑스톨라스키 배열’임을 증명한다.

상세 분석

본 논문은 먼저 기존의 피보나치와 루카스 수열이 이루는 무한 2차원 표, 즉 ‘와이소프 배열(Wythoff array)’을 복습한다. 와이소프 배열은 각 행이 피보나치 재귀를 따르는 수열이며, 열을 따라 나열된 초기 단어들이 ‘라디스 순서(radix order)’에 따라 정렬될 때, 각 자연수가 정확히 한 번씩 나타난다. 콘웨이와 라이바는 이 배열에 ‘시드(seed)’와 ‘월(wall)’이라는 두 개의 추가 열을 삽입해 ‘엠파이어 스테이트 빌딩’이라는 시각적 구조를 만들었다.

논문은 이 구조를 일반적인 2차 선형 재귀 (X_{n+1}=dX_n+X_{n-1}) 로 확장한다. 여기서 (d)는 양의 정수이며, (d=1) 일 때는 기존의 피보나치 경우와 동일하고, (d=2) 일 때는 펠 수열 (P_n) (0,1,2,5,12,…)이 등장한다. 저자는 이를 ‘펠 타워(Pell Tower)’라 명명하고, (d>2) 일 때는 더 복잡한 패턴이 나타나지만 여전히 ‘오스트로우스키 배열(Ostrowski array)’이라는 일관된 구조를 유지한다는 점을 강조한다.

오스트로우스키 배열은 ‘오스트로우스키 수 체계(Ostrowski numeration)’와 깊은 연관이 있다. (\alpha = d+\sqrt{d^2+4}) 라는 초월수가 정의되면, 그 연속분수 전개(convergent continued fraction)에서 얻어지는 분모 (D_n)는 재귀식 (D_{n+1}=dD_n+D_{n-1}) 를 만족한다. 모든 자연수 (N) 은 고유하게
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