비동질 자기유사 측정의 절대 연속성 예외를 만드는 대수 곡선

초록

본 논문은 유사 차원 > 1인 파라미터 영역에서 일반적으로 절대 연속성을 갖는 비동질 자기유사 측정이, 특정 대수 곡선 위의 파라미터에서는 오히려 차원 < 1인 특이(싱귤러) 측정이 됨을 보인다. 구체적인 곡선과 예시를 제시하고, 이를 통해 예외 집합의 존재를 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 β₁, β₂∈(0,1)와 확률 p∈(0,1)으로 정의되는 두 유사 변환 T₁(x)=β₁x+β₁, T₂(x)=β₂x−β₂에 대해 고유한 자기유사 확률 측정 μ_{p,β₁,β₂}가 존재함을 상기한다. 동일 비율 β₁=β₂인 경우는 고전적인 무한 컨볼루션 베르누이 측정이며, β₁≠β₂인 경우를 비동질 자기유사 측정이라 부른다. 이때 유사 차원(Similarity Dimension) S_D(p,β₁,β₂)=−p log p−(1−p) log(1−p)−p log β₁−(1−p) log β₂가 1보다 크면 일반적으로 μ는 절대 연속적이다(정리 1.1). 기존 연구는 전이(transversality) 기법을 이용해 “거의 모든” β₁,β₂에 대해 이를 증명했으며, 특히 Saglietti‑Shmerkin‑Solomyak(2018)은 β₁,β₂∈(0,1) 전역으로 확대하였다.

하지만 저자는 β₁+β₂>1인 영역 R 안에 존재하는 특정 대수 곡선 C를 정의한다. 곡선은 길이 n≥3인 부호열 s,t∈{−1,1}ⁿ (∑s_i=∑t_i) 로부터
∑_{k=1}^n s_k x^{#_k(s)} y^{\tilde#k(s)} − ∑{k=1}^n t_k x^{#_k(t)} y^{\tilde#_k(t)}=0
이라는 방정식으로 얻어진다. 여기서 #_k(s)와 \tilde#_k(s) 는 각각 앞 k개의 항 중 +1, −1 의 개수이다.

정리 1.2는 (β₁,β₂)가 C 위에 있으면서 β₁+β₂>1이면, 어떤 p∈(0,1) 존재하여 S_D(p,β₁,β₂)>1이지만 μ_{p,β₁,β₂}는 차원 d_{SD}(p,β₁,β₂)<1인 특이 측정이 됨을 보인다. 핵심 아이디어는 곡선 위에서는 두 변환 T_s와 T_t이 동일해져, 전체 IFS를 {T_r | r≠s,t}∪{T_s} 로 재구성하고, 이때의 유사 차원 d_{SD}는 항상 S_D보다 작다(명제 2.1). β₁+β₂>1이면 β₁^d+β₂^d=1을 만족하는 d>1이 존재하고, p=β₁^d 를 잡으면 S_D(p,β₁,β₂)=d>1가 된다. 연속성 및 중간값 정리를 이용해 d_{SD}<1이 되는 p를 찾는다(명제 2.2).

구체적인 예로 n=5, s=(1,−1,−1,−1,1), t=(−1,1,1,−1,−1) 에서 얻는 곡선
2x²y³+x²y²−x²y−xy³−xy²−2xy+x+y=0
은 R 안에 실제 교점을 가지며, 그림 1에 표시된다. n=6에 대해서도 여러 조합을 제시한다. 마지막으로, 곡선이 R과 교차하지 않도록 하는 충분조건(명제 3.1)을 제시해, 어떤 s,t 쌍이 예외를 만들지 판단할 수 있게 한다.

이 연구는 “거의 모든” 파라미터에서 절대 연속성을 기대할 수 있다는 기존 인식을 보완한다. 대수적 구조가 내포된 특수 파라미터 집합이 존재함을 보여, 비동질 자기유사 측정의 미세한 구조와 예외 집합의 크기를 이해하는 데 새로운 도구를 제공한다. 또한, 곡선 C의 존재와 그 위의 점들의 존재 여부가 아직 완전히 밝혀지지 않아, 향후 연구에서 더 넓은 차원의 예외 집합을 탐색하거나, 이러한 곡선이 갖는 대수적·동역학적 의미를 규명하는 과제가 남아 있다.