고차원 브라운 운동 볼록껍질의 기하학적 함수와 역과정에 대한 새로운 상한·하한

초록

본 논문은 ℝⁿ에서 브라운 운동이 만든 볼록껍질의 부피·표면적·지름·외접반경 및 이들의 역과정(특정 크기에 도달하는 시간)의 기대값에 대해 차원 n에 따라 정확한 차수의 상·하한을 제시한다. 특히 부피가 1이 되기까지 걸리는 평균 시간이 ≤ n·n^{1/n}·√

상세 분석

이 논문은 고차원(ℝⁿ) 브라운 운동 경로의 볼록껍질 Hₜ=conv{Wₛ:0≤s≤t}에 대해 네 가지 기본 기하학적 함수 V(Hₜ) (부피), S(Hₜ) (표면적), D(Hₜ) (지름), R(Hₜ) (외접반경)를 정의하고, 각각의 역과정 Θ_X(y)=inf{t≥0: Xₜ>y}의 기대값을 연구한다. 기존 연구는 주로 n=2인 평면에 국한되었으며, 정확한 공식은 부피와 표면적에 대해서만 알려져 있었다(예: Eldan의 E