중학생도 이해하는 카일리 공식 증명

초록

이 논문은 라벨이 붙은 트리의 개수를 구하는 카일리 공식 (n^{,n-2}) 를 초등 수준의 대수와 간단한 경우분류만으로 증명한다. 경로를 차례로 추가하며 얻는 곱식과 두 가지 경우만 남는 분배법칙을 이용해 전체 합을 간단히 정리한다.

상세 분석

본 논문은 “중학교 수학”이라는 표어 아래, 카일리 공식의 전통적인 증명들을 회피하고 보다 직관적인 경우분류와 곱셈 전개를 사용한다는 점에서 흥미롭다. 저자는 먼저 정점 1과 2를 잇는 경로를 그리고, 그 경로에 포함되는 중간 정점들의 라벨 배치를 ((n-2)(n-3)\cdots(n-k_1+1)) 로 표현한다. 이후 두 번째, 세 번째 … 경로를 추가하면서 각각의 새로운 경로가 시작되는 위치를 선택하는 경우의 수 (k_i) 와 남은 정점에 대한 라벨 선택을 곱해 나간다. 이렇게 하면 전체 트리의 라벨링 수는

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