비정수 진법에서의 미디 정리와 피보나치 수의 나눗셈 특성

초록

본 논문은 실수 기반 β>1의 자리값 체계에서 미디 정리의 개념을 정의하고, 필요조건을 행렬식 형태로 제시한다. 특히 황금비 τ= (1+√5)/2 에 대해 충분조건을 증명하고, 피보나치 수의 나눗셈 성질을 이용해 τ 진법에서 미디 성질을 만족하는 소수 분모 q를 완전히 규정한다.

상세 분석

논문은 먼저 Rényi가 도입한 실수 기반 β‑진법을 복습하고, β‑전개가 순환적일 때 “미디 성질”을 정의한다. 정의에 따르면, 분모 q가 미디 성질을 갖기 위해서는 최소 주기가 짝수 2n인 순환 전개가 존재하고, 전개의 앞 n자리와 뒤 n자리에 해당하는 β‑정수가 각각 βⁿ‑1을 합해야 한다. 이를 바탕으로 저자들은 Lemma 3.1을 통해 p/q와 그 보완 q‑p/q가 n번 변환 Tⁿ을 적용했을 때 서로 교환되는 조건을 도출한다. 이어서 Theorem 3.2에서는 β의 최소 다항식에 대응하는 companion matrix C를 이용해 Cᴺ ≡ −I (mod q) 가 필요조건임을 증명한다. 이 행렬식 조건은 β가 대수정수이며, 특히 Pisot 단위일 때만 의미를 갖는다. 이후 τ= (1+√5)/2 를 대상으로, C의 거듭제곱이 피보나치 수와 직접 연결됨을 이용해 Cᴺ ≡ −I (mod q) 가 충분조건임을 보인다. 구체적으로 Cⁿ은