재획가능 실수와 집합의 구조와 복잡도

초록

α∈ℝ가 무한히 많은 n에 대해 α−aₙ<2⁻ⁿ을 만족하는 계산가능 비감소 유리수열 (aₙ)로 수렴하면 ‘재획가능’이라 정의한다. 논문은 이러한 실수와, 2^{−A} 형태로 표현되는 강좌우계산가능 실수인 집합 A⊆ℕ을 연구한다. 재획가능 실수는 계산가능 실수와 좌계산가능 실수 사이에 존재하며, 덧셈에 대해 닫히지 않는다. 모든 c.e. 튜링 차수에 재획가능 집합이 존재하고, 이들의 초기 구간 복잡도는 i.o. K‑trivial이지만 무한히 자주 n보다 큰 Kolmogorov 복잡도를 가질 수 있다. 또한 정규 실수를 두 개의 재획가능 정규 실수로 균등하게 분할하는 알고리즘을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 ‘재획가능( regainingly approximable)’이라는 새로운 실수 클래스를 정의한다. 이는 기존의 좌계산가능(left‑computable) 실수 정의에 ‘무한히 자주’ 2⁻ⁿ 수준의 근사 정확도를 요구하는 것으로, 계산가능 실수보다 약하지만 좌계산가능보다 강한 조건이다. 저자는 이 정의가 비감소·비증가·증가 등 여러 변형에 대해 동일한 클래스를 만든다는 강건성 정리를 증명한다(정리 4). 특히, 임의의 무한히 큰 계산가능 함수 f에 대해 α−aₙ<2^{-f(n)}가 무한히 자주 성립하도록 하는 근사열을 항상 구성할 수 있음을 보인다.

다음으로 강좌우계산가능 실수 2^{-A}에 대한 ‘재획가능 집합’ 개념을 도입한다. 여기서 A는 c.e. 집합이며, 2^{-A}=∑_{a∈A}2^{-(a+1)}가 재획가능 실수이면 A를 재획가능 집합이라 부른다. 정리 8은 2^{-A}가 재획가능이 되기 위한 등가 조건을 제시한다. 특히, A에 대한 ‘좌측 근사열’ (Aₙ)이 무한히 자주 정확히 A∩{0,…,n−1}=Aₙ을 만족하면 A는 재획가능이다. 이는 좌측 근사열이 ‘정확히 맞추는’ 순간이 무한히 존재함을 의미한다.

계산이론적 성질을 탐구하면서, 저자는 다음과 같은 중요한 결과들을 얻는다. 첫째, 재획가능 집합은 합집합·교집합에 대해 닫히지 않는다. 구체적인 반례를 구성해 두 재획가능 집합의 합이 재획가능하지 않으며, 교집합 역시 마찬가지임을 보인다. 둘째, 모든 c.e. 튜링 차수에 재획가능 집합이 존재한다는 전역적 존재론을 증명한다(정리 12). 이는 고차원 복잡도 구조와 무관하게 재획가능성을 구현할 수 있음을 의미한다. 셋째, 재획가능 집합이 아닌 c.e. 집합도 존재함을 보여, 이 클래스가 전체 c.e. 집합의 진부분집합임을 확인한다.

Kolmogorov 복잡도와의 관계에서도 흥미로운 현상이 발견된다. 모든 재획가능 실수는 ‘무한히 자주(i.o.) K‑trivial’이며, 따라서 Martin‑Löf 무작위가 아니다. 그러나 저자는 복잡도가 n을 초과하는 구간이 무한히 많이 나타나는 재획가능 실수 α를 구성한다(정리 15). 이는 i.o. K‑trivial임에도 불구하고 복잡도 상한을 초과할 수 있음을 보여준다. 집합 측면에서도, 초기 구간 복잡도가 c.e. 집합이 가질 수 있는 최대값에 무한히 자주 도달하는 재획가능 집합을 만든다(정리 16). 이는 복잡도 관점에서 재획가능 클래스가 매우 다양함을 시사한다.

마지막으로, 정규 실수(regular real) 개념을 이용해 분할 알고리즘을 제시한다. 정규 실수는 특정한 ‘속도 제한’을 가진 좌측 근사열을 갖는 실수이며, 저자는 모든 정규 실수를 두 개의 정규이면서 동시에 재획가능한 실수로 균등하게 분할하는 효과적인 방법을 제공한다(정리 18). 이 결과는 기존의 c.e. 집합 분할 결과를 강화한 것으로, 정규성이라는 추가 제약을 유지하면서도 재획가능성을 보존한다는 점에서 의미가 크다.

전체적으로 논문은 재획가능이라는 새로운 근사 개념을 통해 실수와 c.e. 집합 사이의 미세한 구조를 밝히고, 복잡도 이론, 튜링 차수, 연산적 닫힘성 등 다양한 관점에서 풍부한 결과를 제시한다. 이는 좌계산가능 실수와 계산가능 실수 사이의 중간 영역을 체계적으로 탐구한 최초의 작업이라 할 수 있다.