트리와 단일 사이클 그래프에서 혁명가·스파이 게임의 최적 전략
이 논문은 그래프 G 위에서 r명의 혁명가와 s명의 스파이가 번갈아 움직이며, m명 이상의 혁명가가 스파이 없이 한 정점에 모이는 “무방비 회의”를 방지하려는 게임을 연구한다. 트리에서는 ⌊r/m⌋명의 스파이만 있으면 스파이가 승리함을 보이고, 단일 사이클(유사환) 그래프에서는 ⌈r/m⌉명의 스파이로 충분하며, 정확히 ⌊r/m⌋명만으로 승리 가능한 경우와 ⌊r/m⌋+1명이 필요할 경우를 사이클 길이 ℓ와 사이클 외 정점 수 t에 대한 식 ℓ ≤…
저자: Jozef Beck, Michael Smyth, Howard
논문은 그래프 G 위에서 r명의 혁명가와 s명의 스파이가 번갈아 움직이며 진행되는 게임 RS(G,m,r,s)를 정의한다. 혁명가는 매 라운드 시작 시점에 원하는 정점으로 이동하거나 머무를 수 있고, 스파이도 동일하게 움직인다. 목표는 혁명가가 m명 이상 모여 스파이가 전혀 없는 정점에 도달하는 ‘무방비 회의’를 만드는 것이며, 스파이는 이를 영원히 방지하는 것이 목표다. 게임의 승패를 결정하는 최소 스파이 수를 σ(G,m,r)라 정의한다. 자명한 하한은 min{|V(G)|,⌊r/m⌋}이며, 상한은 min{|V(G)|, r−m+1}이다.
첫 번째 주요 결과는 트리에서 하한이 정확히 상한이 됨을 보인다. 트리의 루트를 정하고, 각 정점 v에 대해 하위 트리 D(v) 안에 있는 혁명가 수 w(v)를 정의한다. 스파이는 매 라운드 종료 시점에 s(v)=⌊w(v)/m⌋−∑_{u∈C(v)}⌊w(u)/m⌋(C(v)는 v의 자식 집합) 를 만족하도록 배치한다. 이 불변식은 회의가 발생하면 해당 정점에 최소 한 명의 스파이가 존재함을 보장한다. 증명은 재귀적으로 자식 정점부터 스파이 배치를 조정해 가는 방식으로, 스파이 이동이 한 번의 이동으로 충분함을 보여준다. 따라서 트리에서는 ⌊r/m⌋명의 스파이만 있으면 언제든 혁명가의 회의를 차단할 수 있다.
두 번째 결과는 사이클(단일 순환 그래프)에서의 상황을 다룬다. 여기서는 스파이가 ⌈r/m⌉명이면 충분함을 보인다. 핵심 전략은 스파이 i가 인덱스가 i·m인 혁명가를 ‘추적’하도록 배치하는 것이다. 혁명가가 한 단계씩 이동해도 인덱스 순서는 유지되므로, 매 라운드마다 m명 이상 모인 정점에는 반드시 해당 스파이가 존재한다. r이 m의 배수이면 ⌈r/m⌉=⌊r/m⌋이므로 하한과 일치한다. 그러나 r이 m으로 나누어떨어지지 않을 경우, 사이클 길이 ℓ가 충분히 짧으면 ⌊r/m⌋명만으로도 방어가 가능하고, ℓ가 길면 ⌈r/m⌉명이 필요하다. 구체적으로 ℓ ≤ ⌊r/m⌋+2이면 ⌊r/m⌋명으로 승리 가능하고, ℓ ≥ ⌊r/m⌋+3이면 ⌈r/m⌉명이 필요함을 증명한다. 이때 혁명가는 스파이 하나를 ‘희생’시켜 나머지 스파이들을 회피시키고, 회의가 형성되는 구간을 점차 축소한다.
세 번째 결과는 유사환 그래프(단일 사이클에 트리들이 붙어 있는 형태)이다. 사이클과 각 부속 트리에서 독립적으로 스파이 전략을 적용하려면, 혁명가가 사이클과 트리 사이를 오갈 때 스파이 배치를 조정해야 한다. 이를 위해 ‘가짜 혁명가’를 도입한다. 혁명가가 사이클에서 트리 T의 뿌리 z로 이동하면, 사이클 상의 대응 정점 z*에 가짜 혁명가를 추가한다. 이렇게 하면 사이클 상의 혁명가 수와 스파이 수 사이에 m의 배수 관계가 유지되어 사이클 조건이 보존된다. 실제 혁명가가 m명 모이면 해당 트리에서 스파이가 필요하고, 스파이는 z*에서 z로 이동해 트리 내부 전략(트리에서 ⌊·⌋ 스파이 전략)과 연계한다. 반대로 혁명가가 트리를 떠날 때는 가짜 혁명가를 제거한다. 이 메커니즘을 통해 전체 그래프에 대해 스파이 수는 ⌈r/m⌉ 이하이면 충분함을 보인다.
마지막으로 정확한 스파이 수를 결정한다. G가 사이클 길이 ℓ, 사이클 외 정점 수 t를 갖는 유사환 그래프라 하자. |V(G)| ≥ r/m인 경우 σ(G,m,r)∈{⌊r/m⌋,⌈r/m⌉}이며, m이 r을 나누지 않을 때 ⌊r/m⌋가 충분한 조건은 ℓ ≤ max(⌊r/m⌋−t+2, 3) 또는 r
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