전염병 데이터 분석을 위한 접촉 간격과 생존 분석 기반 R₀ 추정

이 논문은 전염병 역학에서 핵심적인 파라미터인 기본 재생산수 R₀를 보다 정확히 추정하기 위해 ‘접촉 간격(contact interval)’이라는 새로운 개념을 도입하고, 이를 생존 분석(survival analysis) 프레임워크에 적용한다. 기존에 널리 사용되어 온 세대 간격(generation interval)과 시리얼 간격(serial interval)은 관측 가능한 사건(감염, 증상 발현 등) 사이의 시간 차이를 기반으로 하지만, 실제 전파 과정에서 여러 감염자가 동시에 감수성을 경쟁하게 되며, 최초 접촉이 감염을 결정한다는 점에서 편향이 발생한다. 특히, 감염이 진행될수록 평균 간격이 수축하는 현상이 무시되기 쉽다. **접촉 간격 정의와 특성** 접촉 간격은 감염자가 감염 가능 상태가 된 시점(감염성 시작)부터 특정 감수성 대상에게 최초로 전염성 접촉을 시도하는 시점까지의 시간을 의미한다. 이 간격은 실제 감염으로 이어지지 않을 경우(다른 감염자에 의해 먼저 감염되거나 감염자가 회복될 경우) 오른쪽 검열(right‑censoring)된다. 따라서 관측되지 않은 ‘잠재적’ 전파 경로를 포함하면서도 검열 메커니즘을 자연스럽게 반영한다. **수학적 모델링** 폐쇄 인구 n명의 SEIR 모델을 확률 과정으로 정의한다. 각 개인 i는 감염 시점 t_i, 잠복기 ε_i, 감염성 기간 ι_i, 회복 시점 t_i+r_i 로 기술된다. 감염성 기간 동안 i는 다른 개인 j에게 감염성 접촉을 시도하며, 이 접촉 간격 τ\*_ij는 hazard 함수 λ_ij(τ;θ) 로 모델링된다. τ\*_ij는 τ_ij≤ι_i이면 실제 접촉 간격이 되고, 그렇지 않으면 무한대로 설정한다. C_ij는 접촉 가능 여부, X_ij는 공변량을 나타낸다. **생존 분석 적용** 각 ordered pair (i, j)에 대해 누적 접촉 과정 N_ij(t)를 정의하고, 이를 통해 마팅게일 M_ij(t)=N_ij(t)−∫₀^t λ_ij(u−t_i−ε_i;θ) C_ij I_i(u) S_j(u) du 를 만든다. λ_ij가 해당 filtration에 대해 예측 가능하면 M_ij는 평균 0 마팅게일이 된다. 로그우도와 점수 과정은 전통적인 생존 분석과 동일한 형태를 가지며, 점수 과정 U_ij(θ,t)=∫₀^t ∂_θ log λ_ij(u−t_i−ε_i;θ) dM_ij(θ,u) 로 표현된다. **‘누가 누구를 감염시켰는가’ 관측 여부** 1. **감염자-감염경로 관측**: 각 N_ij의 첫 번째 점프를 직접 관찰하면 전체 점수 과정은 U·j(θ,t)=∑_{i≠j}U_ij(θ,t) 로 단순히 합산된다. 2. **감염 경로 미관측**: 감염 시점만 알고 감염자를 모를 경우, 총 감염 과정 N·j(t)=∑_{i≠j}∫₀^t S_j(u) dN_ij(u) 를 사용한다. 이때 조건부 기대값을 통해 기대 점수 과정 eU_ij를 도출하고, 이는 λ·j(t;θ)=∑_{i≠j} λ(t−t_i−ε_i;θ,X_ij) C_ij I_i(t) 로 정의된 집합적 위험함수에 대한 로그우도와 동일하다. 따라서 관측되지 않은 감염자를 포함하더라도 최대우도추정은 동일한 마팅게일 구조를 유지한다. **추정량의 asymptotic 특성** 예측 변동(predictable variation)과 선택 변동(optional variation) 과정을 이용해 Fisher 정보의 불편 추정량을 제공한다. Lindeberg‑Feller 중심극한정리를 적용해 θ̂가 √n 수렴률과 정규분포 근사성을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 전통적인 생존 분석 이론과 일치한다. **R₀ 추정** 접촉 간격 분포를 이용해 두 가지 모델에서 R₀를 추정한다. - **질량작용 모델**: 전염성 접촉률 β와 접촉 간격 평균 μ를 사용해 R₀=β·μ 로 표현한다. - **네트워크 기반 모델**: 평균 차수 κ와 접촉 간격에 대한 누적 위험을 결합해 R₀=κ·E