무한 연산을 이용한 셀룰러 오토마타 연구

초록

본 논문은 세르게예프의 무한 단위 공리(그로소네)를 적용해 1차원 셀룰러 오토마타의 정의 공간에 새로운 정밀 메트릭을 구축한다. 이 메트릭으로 열린 원판을 정의하고 각 원판에 포함되는 구성의 수를 정확히 셀 수 있다. 또한 전진 동역학을 등가 클래스로 분석해 시프트 오토마타 하에서 주어진 구성과 가까운 상태들의 개수를 구한다.

상세 분석

세르게예프가 제시한 무한 단위 공리, 즉 ‘그로소네(grossone)’ 개념은 무한 자연수 ℵ₀을 구체적인 수치 ℵ로 치환함으로써 무한 연산을 정량화한다. 논문은 이 공리를 1차원 셀룰러 오토마타(CA)의 구성 공간 Σ^ℤ에 적용한다. 기존에는 구성 간 거리 정의가 제한적이어서 무한히 긴 좌우 이웃을 동시에 고려하기 어려웠지만, 그로소네를 도입하면 각 위치 i∈ℤ에 대해 무한히 큰 가중치를 부여해 전체 거리 d(x,y)=∑_{i∈ℤ}ℵ^{-|i|}·δ(x_i,y_i) 형태의 초극한 메트릭을 정의할 수 있다. 여기서 δ는 Kronecker delta이며, ℵ^{-|i|}는 거리 기여도가 원점에서 멀어질수록 급격히 감소하도록 만든 가중치이다. 이 메트릭은 완비 공간을 이루며, 두 구성의 차이가 유한 구간에 국한될 경우 거리값이 유한하고, 무한히 많은 차이가 존재하면 거리값이 ℵ에 가까워진다.

새로운 메트릭을 기반으로 열린 원판 B_r(x)={y∈Σ^ℤ | d(x,y)<r}를 정의한다. r을 유리수 혹은 ℵ의 유한 배수로 설정하면 원판 안에 포함되는 구성의 수를 정확히 셀 수 있다. 예를 들어 r=ℵ^{-k} (k∈ℕ)이면 원판은 원점 주변 k칸 이내에서만 자유롭게 변할 수 있는 구성들의 집합이며, 그 수는 |Σ|^{2k+1}·ℵ^{0}=|Σ|^{2k+1}이다. 반면 r=ℵ·c (c>0)와 같이 무한 가중치를 포함하면 원판 안에 무한히 많은 자유도(ℵ 차원)가 존재함을 보이며, 구성 수는 |Σ|^{ℵ}=ℵ^{ℵ} 형태로 계산된다. 이러한 정량적 계산은 기존의 ‘무한히 많다’라는 정성적 표현을 넘어 정확한 카디널리티를 제공한다.

동역학적 측면에서는 CA 전이 함수 F:Σ^ℤ→Σ^ℤ를 고려한다. 논문은 F의 전진 궤적을 등가 클래스