의사원시 단어의 특성 및 응용

초록

본 논문은 반대동형 사상 θ에 대해 정의되는 의사원시 단어의 구조를 탐구한다. 의사원시 단어와 기존의 원시 단어, 의사팰린드롬, 의사교환성 사이의 관계를 정리하고, 이를 이용해 확장된 Lyndon‑Schützenberger 방정식 (u_1\cdots u_l = v_1\cdots v_n w_1\cdots w_m) 의 해를 새롭게 기술한다. 특히 (l\ge4,;n,m\ge3) 인 경우 세 단어 (u,v,w)가 공통 단어 (t)와 (\theta(t))의 반복으로 표현될 수 있음을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 알파벳 (\Sigma) 위의 문자열 집합 (\Sigma^*)에 정의된 반대동형 사상(antimorphic involution) (\theta)를 소개한다. (\theta)는 모든 문자에 대해 (\theta^2 = id)이며, 문자열을 뒤집고 각 문자에 대한 대체를 동시에 수행한다. 예를 들어 DNA 서열에서의 상보성 변환이 전형적인 사례이다.

그 다음 의사원시(pseudo‑primitive) 단어를 정의한다. 문자열 (x)가 어떤 짧은 문자열 (t)와 그 이미지 (\theta(t))의 교대로 이어진 형태, 즉 (x = (t\theta(t))^k) 혹은 ((\theta(t)t)^k) 로 표현될 수 있으면 (x)는 의사원시가 아니다. 반대로 이러한 분해가 존재하지 않을 때 (x)를 의사원시라 부른다. 이는 전통적인 원시(primitive) 단어의 개념을 (\theta)에 대해 대칭적으로 확장한 것이다.

논문은 의사원시와 기존 개념 사이의 연결 고리를 여러 정리로 제시한다.

1. 정리 1은 (x)가 의사원시이면, (x)는 (\theta)‑팰린드롬(즉 (x = \theta(x))) 혹은 (\theta)‑비팰린드롬인 경우에만 원시성을 가질 수 있음을 보인다.
2. 정리 2는 두 문자열 (p,q)가 (\theta)‑교환(commute)한다면, 즉 (pq = \theta(q)\theta(p))이면, 각각이 동일한 기본 블록 (t)와 (\theta(t))의 반복으로 표현될 수 있음을 증명한다. 이는 의사‑교환성(pseudo‑commutativity) 이 원시 구조와 깊게 연관됨을 의미한다.

핵심 응용은 확장된 Lyndon‑Schützenberger 방정식
\