테트라헤드론 회전 복원 문제

초록

본 논문은 원점에 중심을 둔 알려진 사면체 T와, 미지의 회전 φ에 의해 회전된 후 정규 직교 투영으로 얻어진 정점들의 2차원 좌표 집합 U가 주어졌을 때, 회전 φ를 유일하게 결정할 수 있는 조건을 탐구한다. 사면체의 대칭성, 투영 방향, 그리고 정점들의 일반 위치에 따라 회전 복원 가능성이 달라지며, 일반적인 비대칭 사면체와 일반적인 투영 방향에서는 φ가 유일하게 결정됨을 증명한다. 반면, 정규 사면체와 같이 고대칭을 갖는 경우 혹은 투영면이 대칭축에 평행한 경우에는 여러 회전이 동일한 투영을 만들 수 있음을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 사면체 T의 정점들을 (v_1,\dots ,v_4\in\mathbb{R}^3) 로 표기하고, 회전 (\phi) 를 3×3 직교 행렬 (R) 로 나타낸다. 원점 중심이므로 평행 이동은 필요 없으며, 투영 연산은 고정된 정규 직교 행렬 (P) (예: (P=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\end{pmatrix})) 로 모델링한다. 따라서 관측된 2차원 좌표는
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