양자 영감 기반 초고속 서포트 벡터 머신

본 논문은 2020년 발표된 “Quantum‑Inspired Support Vector Machine”이라는 제목 아래, 양자 컴퓨팅이 제공하는 지수적 속도 향상을 고전 알고리즘에서도 재현할 수 있는 방법을 제시한다. 서론에서는 양자 알고리즘이 복잡도 이론에서 Turing 기계보다 우월함을 강조하고, 특히 2014년 Rebentrost·Mohseni·Lloyd가 제안한 양자 LS‑SVM이 데이터 크기의 로그에 비례하는 시간 복잡도를 갖는 점을 소개한다. 이어서, Kerenidis‑Prakash의 양자 추천 시스템을 고전적으로 탈양자화한 Tang의 작업과 Gilyén·Chia·이들의 로그‑시간 행렬 역전 알고리즘을 기반으로, SVM에도 동일한 접근이 가능함을 주장한다. 다음으로 LS‑SVM의 수학적 배경을 정리한다. 데이터 집합 {(x_j, y_j)}_{j=1}^m 에 대해 선형 커널을 가정하고, 편향 b=0, 정규화 파라미터 γ를 무한대로 두어 (XᵀX+γ⁻¹I)α = y 형태의 선형 방정식으로 변환한다. 여기서 X∈ℝ^{n×m} 은 특성 행렬이며, α는 라그랑주 승수이다. 전통적인 방법은 XᵀX 를 직접 계산하고, 그에 대한 역행렬을 구해 α를 얻는다. 하지만 XᵀX 의 차원이 m×m 이므로 m이 클 경우 O(m³) 비용이 발생한다. 논문은 이를 피하기 위해 “간접 샘플링(indirect sampling)”이라는 새로운 샘플링 기법을 도입한다. 먼저, 각 열 벡터 x_j 의 ℓ₂ 노름 제곱을 확률분포 q(x_j) 로 정의하고, 이 분포에 따라 열 인덱스를 샘플링한다(열 샘플링). 선택된 열들로 구성된 서브매트릭스 X₀ 를 만든 뒤, X₀ 의 행을 다시 ℓ₂ 노름 기반으로 샘플링해 X₀₀ 를 얻는다. 정의에 따라 E