확장형 가우스 뉴턴을 이용한 전파형 전산역학 혁신

초록

본 논문은 전파형 전산역학(FWI)에서 기존 가우스‑뉴턴(GN) 시스템을 행렬 형태로 재구성하고, 탐색 방향을 대각 행렬에서 일반 행렬로 확장함으로써 소스·리시버 축에 자유도를 추가한다. 두 개의 작은 행렬만 역연산하면 데이터 잔차를 소스와 리시버 차원에서 동시에 디블러링할 수 있어 헤시안의 분리와 효율적인 계산이 가능하다. 확장형 GN(EGN) 방법은 모델 확장과 소스 확장의 장점을 동시에 취해, 저주파·저파수 성분이 부족한 경우에도 지역 최소에 빠지지 않고 안정적으로 수렴한다는 것을 수치 실험을 통해 입증한다.

상세 분석

이 논문은 FWI의 비선형 최소제곱 문제를 풀기 위해 가우스‑뉴턴(GN) 접근법을 근본적으로 변형한다. 기존 GN은 JᵀJ·δm = –Jᵀδd 형태의 선형 시스템을 풀어야 하는데, 여기서 J는 각 소스에 대한 야코비안이며, δd는 데이터 잔차이다. 저자들은 JᵀJ를 Hadamard 곱으로 표현하여 (SᵀS) ∘ (UᵀU) 형태의 행렬로 변환하고, 이를 대각 행렬이 아닌 일반 행렬 Δm으로 확장한다. 이때 Δm은 소스‑리시버 2차원 공간, 즉 ‘지하 오프셋’ 축을 포함한다. 이러한 확장은 탐색 방향에 추가 자유도를 부여해, 전통적인 벡터형 업데이트보다 더 풍부한 파라미터 공간을 탐색하게 만든다.

핵심은 확장된 시스템이 두 개의 작은 행렬, 하나는 소스 차원(Ns × Ns), 다른 하나는 리시버 차원(Nr × Nr) 크기의 헤시안 근사 행렬을 역연산함으로써 명시적으로 해를 구할 수 있다는 점이다. 이 두 행렬은 각각 데이터 잔차 행렬 Δd를 소스와 리시버 축에 따라 ‘디블러링’하는 역할을 수행한다. 즉, 기존 확장 소스 FWI가 1‑D 디블러링 필터를 리시버 축에만 적용하던 것과 달리, EGN은 2‑D 커널을 이용해 Δd를 동시에 소스·리시버 차원에서 정규화한다. 결과적으로 헤시안이 완전히 분리(separable)되어, 메모리 요구량과 연산 복잡도가 크게 감소한다.

또한, EGN은 확장 모델(FWI)과 확장 소스(FWI) 사이의 중간 형태로 작동한다. 모델 확장은 파라미터를 지하 오프셋 축으로 확장하고, 소스 확장은 소스 파라미터를 추가한다. EGN은 두 확장의 장점을 모두 흡수해, 저주파 성분이 결여된 데이터에서도 낮은 파수 성분을 보강하고, 초기 모델이 크게 틀린 경우에도 지역 최소에 빠지지 않도록 한다. 수치 실험에서는 2‑D 및 3‑D 모델에 대해 전통적인 PSD, CG‑Newton, 그리고 기존 확장 소스 방법과 비교했을 때, 수렴 속도와 최종 모델 정확도 모두에서 우수함을 보였다.

이러한 설계는 헤시안의 구조적 특성을 활용해 고차원 확장 문제를 저차원 연산으로 축소함으로써, 대규모 지구물리 탐사에 실용적인 솔루션을 제공한다는 점에서 학술적·산업적 의미가 크다.