RBF 콜로케이션과 유전 알고리즘을 이용한 생물학적 미분 모델 최적화

초록

본 논문은 Kansa 방식의 방사형 기저 함수(RBF) 콜로케이션을 이용해 HIV와 인플루엔자 모델 같은 생물학적 미분 방정식 시스템을 풀고, 핵심 파라미터인 Shape parameter를 최적화하기 위해 연속형 유전 알고리즘(CGA)을 설계한다. 새로운 pseudo‑combination 교차 연산자를 도입해 잔차 2‑노름(ASN2R)과 상대오차 평균(ARE)을 기반으로 피트니스 함수를 정의하고, 실험을 통해 제안 방법이 기존 수치 기법보다 높은 정확도와 안정성을 보임을 확인하였다.

상세 분석

본 연구는 두 가지 주요 기술적 축을 결합한다. 첫 번째는 전역적인 RBF 콜로케이션, 즉 Kansa 방법을 이용해 미분 방정식 시스템을 선형 대수식으로 변환하는 것이다. 이때 사용되는 방사형 기저 함수는 다중 사분면(MQ), 역다중 사분면(IMQ), 가우시안 등 여러 형태가 가능하지만, 모든 형태에 공통적으로 존재하는 ‘Shape parameter( c )’가 해의 정확도와 행렬의 조건수에 결정적인 영향을 미친다. 기존 문헌에서는 경험적 공식이나 LOOCV, PRESS 등 통계적 방법을 제시했지만, 고차원·비선형 시스템에서는 전역 최적값을 보장하기 어렵다.

두 번째 축은 메타휴리스틱 최적화인 연속형 유전 알고리즘(CGA)이다. 초기 집단은 지정된 구간 내에서 균등 난수로 생성하고, 적합도는 두 가지 목표 중 하나인 ASN2R(잔차 2‑노름의 평균) 혹은 ARE(해와 기준 해 사이의 상대오차 평균)로 정의한다. 선택 단계는 룰렛 휠 방식을 채택해 적합도가 높은 염색체가 더 큰 선택 확률을 갖는다. 교차 연산에서는 기존의 단순 평균이나 일점 교차 대신 ‘Pseudo‑Combination Formula(PCF)’를 도입했는데, 이는 부모의 값과 적합도를 동시에 고려해 자식값 d = a + b/2 + sign(b−a)(|b−a + b/2 + sign(b−a)·ε|)/|f(a)| 형태로 계산한다. 이 식은 부모 간 차이가 클수록 탐색 폭을 넓히고, 적합도가 높은 부모의 영향을 강화해 지역 최적에 머무르는 위험을 감소시킨다. 변이 연산은 작은 가우시안 노이즈를 추가해 다양성을 유지한다.

알고리즘은 매 세대마다 Shape parameter 후보 집단을 평가하고, 최적에 가까운 c 값을 선택한다. 선택된 c 값은 RBF 매트릭스에 적용돼 콜로케이션 방정식을 풀고, 잔차와 상대오차를 재계산한다. 실험에서는 HIV 모델(3방정식)과 인플루엔자 SIRC 모델(4방정식)에 대해 n=30~50개의 균등 점을 사용했으며, Newton‑Raphson을 통해 계수를 구했다. 결과는 기존의 Homotopy Perturbation, Chebyshev Spectral, Legendre Collocation 등 20여 가지 방법과 비교했을 때, 평균 절대 오차가 10⁻⁴ 이하로 감소하고, 조건수가 크게 악화되지 않아 수치적 안정성이 확보됨을 보여준다. 특히 PCF 교차를 사용한 GA가 단순 교차에 비해 수렴 속도가 30% 가량 빠르고, 최적 c 값의 변동 범위가 ±5% 이내로 좁혀진다.

이러한 결과는 RBF‑GA 결합이 비선형 생물학적 시스템의 파라미터 튜닝에 효과적이며, Shape parameter 선택을 자동화함으로써 사용자의 주관적 판단을 최소화한다는 점에서 의의가 크다. 다만, GA의 하이퍼파라미터(인구 규모, 세대 수, 변이 확률 등)에 대한 민감도 분석이 부족하고, 고차원 PDE나 실제 데이터 기반 모델에 대한 적용 사례가 부족하다는 한계도 존재한다.