분기 과정 거리 경계와 확산 한계

본 논문은 포아송 분포를 따르는 자손 생산과 이민을 동시에 고려한 이산시간 갈론‑와트슨(Immigration) 과정, 즉 GWI 모델 두 개 사이의 통계적 거리와 그 확산 한계에 대한 포괄적인 이론을 전개한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 두 GWI 모델을 (λ₁,μ₁)와 (λ₂,μ₂)라는 두 쌍의 포아송 파라미터로 정의한다. 여기서 λ는 한 세대당 평균 자손 수, μ는 단위 시간당 평균 이민 수를 의미한다. 두 모델은 각각 독립적인 포아송 과정으로 자손과 이민을 생성하므로, 전체 전이 확률은 두 포아송 확률 질량 함수의 합성으로 표현된다. 저자들은 이러한 구조를 이용해 두 확률분포 P₁, P₂ 사이의 f‑다이버전스 D_f(P₁‖P₂)를 일반적인 f‑함수 형태로 전개하고, 특히 파워 다이버전스 D_α(P₁‖P₂) (α∈(0,1)∪(1,∞))와 Kullback‑Leibler(KL) 엔트로피 D_KL(P₁‖P₂)를 구체적인 폐쇄형 식으로 도출한다. 파워 다이버전스는 포아송 파라미터 차이에 대한 로그‑모멘트 형태로 나타나며, KL 엔트로피는 λ와 μ의 차이에 대한 선형 결합과 로그항의 차이로 구성된다. 이때, 파라미터 차이가 작을 경우 2차 테일러 전개를 통해 거리 척도가 평균·분산 차이에 비례함을 확인한다. 두 번째 부분에서는 이러한 거리 척도의 상한과 하한을 구한다. 상한은 Jensen’s inequality와 포아송 분포의 모멘트 생성 함수를 이용해 D_α ≤ C·