다항시간 그래프 동형성 알고리즘 오류 분석

본 논문은 2022년 10월 18일에 발표된 Reiner Czerwinski의 “다항시간 그래프 동형성 알고리즘”에 대한 비판적 검토를 제공한다. 논문의 서론에서는 그래프 G와 G′의 인접 행렬을 각각 A와 A′라 두고, 두 그래프가 동형이면 어떤 순열 행렬 P에 대해 A′ = P A Pᵀ 가 성립한다는 기본 정의를 제시한다. 이때 동형 그래프는 반드시 동일한 고유값을 갖지만, 고유값이 동일하다고 해서 반드시 동형이라는 역은 성립하지 않는다. 저자는 기존 알고리즘이 바로 이 역을 잘못 적용하여, 두 그래프의 고유값 스펙트럼이 동일한지만을 검사함으로써 동형성을 판정한다고 주장한다. 다음 섹션에서는 강하게 규칙적인 그래프(SRG)의 개념을 도입한다. SRG(n, k, a, c)는 n개의 정점, 각 정점이 k개의 이웃을 가지며, 인접 정점 쌍은 a개의 공통 이웃을, 비인접 정점 쌍은 c개의 공통 이웃을 갖는 그래프를 의미한다. 이러한 그래프는 고유값이 파라미터 (n, k, a, c)에 의해 완전히 결정되는 특성을 가진다. 정리 1에 따르면, 동일한 파라미터를 갖는 두 SRG는 반드시 동일한 고유값 집합을 가진다. 이는 기존 그래프 이론 교과서(예: Godsil & Royle, 2001)에서 증명된 바 있다. 본 논문의 핵심은 2.1 절에서 제시된 구체적인 반례이다. 저자는 SRG(36, 14, 4, 6) 군에 속하는 180개의 서로 비동형인 그래프가 존재한다는 사실을 인용한다(Brendan D. McKay와 Edward Spence, 2001). 이들 그래프는 모두 동일한 스펙트럼을 공유하지만 구조적으로는 서로 다르다. 따라서 고유값만을 비교하는 알고리즘은 이러한 경우를 구분하지 못하고, 잘못된 동형성 판정을 내리게 된다. 논문은 마지막에 참고문헌을 제시한다. 주요 참고문헌은 원 논문(