게임스찬 알고리즘의 q진법 일반화와 다항식 중근 계산

초록

이 논문은 이진 시퀀스의 최소 주기를 찾는 게임스찬 알고리즘을 소수 거듭제곱인 q에 대해 일반화한다. 생성함수와 다항식 이론을 이용해 q‑folding 개념을 도입하고, 이를 통해 주기와 (x‑1) 중근을 로그 시간 안에 구하는 무분할 알고리즘을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존 게임스찬 알고리즘이 2ⁿ 길이의 이진 주기열에 대해 n 단계만에 최소 주기를 찾는 사실을 재정리한다. 여기서 핵심은 시퀀스 s의 생성함수 G(s)(x)를 xⁿ⁻¹ 로 나눈 나머지를 이용해 최소 다항식 µ(s)를 구하고, 그 차수 mp(s)가 최소 주기임을 보이는 것이다. 저자는 이를 소수 거듭제곱 q=pᵉ인 경우로 확장한다. q‑folding 이란 길이 N=q·N′인 시퀀스를 q개의 블록 s(0),…,s(q‑1) 로 나누고, 각 블록을 N′ 만큼 오른쪽으로 시프트한 뒤 합산한 s• 를 정의한다. 정리 1.2는 G(s) 를 블록들의 가중합 형태로 전개하고, s• 가 0인지 여부에 따라 mp(s)의 재귀식을 제시한다. 즉 s•=0이면 mp(s)=max{mp(s(i))}, 그렇지 않으면 mp(s)=mp(s•)+(q‑1)N′ 가 된다. 이 재귀는 N을 q로 나누는 과정을 log_q N 번 반복하면 최종적으로 최소 주기를 얻는다.

다음으로 다항식 f∈GF(q)