t‑검정과 F‑검정의 숨은 동등성: 대수·기하·분포·그래프의 재조명

논문은 통계 교육 현장에서 흔히 가르치는 비율 검정과 평균 검정의 두 사례를 출발점으로, 귀무가설을 “참인 것처럼” 활용하는 전통적 방법과 실제 사용되는 검정 통계량 사이의 겉보이는 불일치를 탐구한다. 비율 검정에서는 표본 비율 \(\hat p\) 와 귀무비율 \(p_0\) 를 각각 분산에 대입하는 두 방식이 소개되고, 각각이 신뢰구간과 검정에 어떻게 적용되는지 설명한다. 그 다음 정규모집단 평균 검정으로 넘어가, 교과서식 일표본 t‑검정 통계량 \(T\) 가 귀무가설 \(\mu=\mu_0\) 를 이용해 분산을 추정하지 않는다는 점을 지적한다. 저자들은 귀무가설을 이용해 정의한 \(T_0\) 와 전통적 \(T\) 가 실제로는 일대일 증가 함수 관계임을 수식(4)로 제시한다. 이 관계는 두 통계량이 동일한 검정 영역을 갖고, 따라서 동일한 유의수준·검정력을 제공한다는 것을 의미한다. 수학적 증명은 두 단계로 이루어진다. 첫째, \(T\)와 \(T_0\)를 각각 \(\chi^2\)와 \(\chi^2\) 비율 형태로 표현하고, 이를 통해 식(4)를 도출한다. 둘째, 벡터 \(v=(Y_i-\mu_0)\)와 단위벡터 \(\mathbf 1\)  사이의 각 \(\theta\) 를 도입해, 피타고라스 정리를 이용한 직각삼각형 해석으로 \(T^2=(n-1)\cot^2\theta\), \(T_0^2=n\cos^2\theta\) 를 얻는다. 삼각함수 관계를 이용하면 바로 식(4)가 나오며, 이는 기존 문헌(Lehmann 1986 등)에서도 언급된 바 있다. 그 후, 저자들은 이 동등성을 일반 선형 모형으로 확장한다. 설계행렬을 \(X=