MATLAB 기반 변분형 FEM 프로그래밍 프레임워크 varFEM 소개

초록

varFEM은 FreeFEM에서 영감을 받아 MATLAB 언어로 구현한 변분형 기반 유한요소 프로그래밍 도구이다. 2차원 Pk‑Lagrange (k≤3) 요소와 비구조 삼각형 메쉬를 지원하며, 이론적 변분식과 코드를 일대일 대응시켜 행렬·벡터 조립을 직관적으로 수행한다. 주요 기능으로는 스칼라·벡터 형식의 이중적분, Robin/Neumann 경계 처리, 혼합 FEM, 열 방정식 시간 적분 등이 포함된다.

상세 분석

varFEM은 기존 FreeFEM이 제공하는 “변분형 프로그래밍(paradigm)”을 MATLAB 환경에 그대로 옮겨 놓은 시도이다. 핵심 아이디어는 PDE의 약한 형식을 그대로 코드에 기술함으로써, 테스트 함수와 시도 함수, 계수 함수를 문자열 혹은 함수 핸들 형태로 전달하고, 내부에서 자동으로 Gaussian quadrature와 기하학적 정보를 이용해 강성 행렬과 하중 벡터를 조립한다는 점이다. 이를 위해 저자는 int2d.m, int1d.m, assem2d.m 등 일련의 어셈블리 루틴을 제공한다.

int2d.m은 2차원 영역 적분을 담당하며, 입력으로 (Coef, Test, Trial) 삼중항을 받아 각 요소마다 기저 함수값·미분값을 미리 계산한 Base2d.m을 활용한다. Gaussian quadrature는 사용자가 지정한 quadOrder에 따라 자동으로 가중치와 좌표를 생성한다. 스칼라 형식에서는 assem2d.m이 int2d.m과 동일한 로직을 수행하지만, 벡터 형식(예: 선형 탄성)에서는 응력·변형률 텐서를 구성하는 복합 연산을 getExtendedvarForm.m을 통해 자동 확장한다.

경계 적분은 int1d.m을 통해 1차원 경계 요소에 대해 수행되며, Th.bdEdge, Th.bdEdgeType 등 메쉬 구조체에 저장된 경계 정보를 활용한다. Robin 경계 조건은 계수 g_R와 테스트·시도 함수 v.val, u.val을 조합해 강성 행렬에 직접 추가한다.

메쉬 데이터 구조는 iFEM 프로젝트를 그대로 차용한다. Th.node(좌표), Th.elem(요소 연결), Th.edge(경계·내부 에지), Th.elem2edge(요소‑에지 매핑) 등을 포함한다. 특히 Pk‑Lagrange(k≤3) 요소를 지원하기 위해 고차 차원에서의 자유도와 에지 정보를 확장하였다.

코드 설계는 MATLAB의 벡터화와 sparse 함수를 적극 활용한다. 각 요소별 로컬 행렬은 area .* sum(ww .* v_i .* u_j, 2) 형태로 계산된 뒤, 전역 인덱스 (ii, jj, ss)를 만들어 sparse(ii, jj, ss, Ndof, Ndof)로 한 번에 조립한다. 이는 기존 MATLAB 기반 FEM 패키지(iFEM)와 동일한 효율성을 유지하면서, 변분식과 코드가 1:1 매핑되는 가독성을 제공한다.

기능 시연 부분에서는 Poisson 문제, 선형 탄성, biharmonic 방정식의 혼합 FEM, Stokes 문제, 열 방정식의 시간 적분 스키마 등을 구현한다. 각 예제는 varPoisson, varElasticity, varBiharmonic, varStokes, varHeat와 같은 함수 형태로 제공되며, 사용자는 PDE 계수와 경계 데이터를 구조체 pde에 정의하고, varFEM 호출만으로 전체 해석 파이프라인을 실행할 수 있다.

제한점으로는 현재 2차원 전용이며, 3차원 텐서 연산 및 고차원 요소(Pk>3) 지원이 미비하다. 또한, 변분식 문자열 파싱이 MATLAB 내부 함수 호출에 의존하므로 복잡한 비선형 PDE(예: Navier‑Stokes 비정상 흐름)에서는 추가적인 사용자 정의 루틴이 필요하다. 그럼에도 불구하고, 변분식 기반 코딩 패러다임을 MATLAB에 성공적으로 도입함으로써, FEM 이론을 배우는 학생부터 연구자까지 손쉽게 실험 코드를 작성하고, 기존 FreeFEM 스크립트를 MATLAB 환경으로 이식할 수 있는 다리 역할을 수행한다.