고정 지지 워터스테인 중심의 계산 복잡도와 빠른 알고리즘

본 논문은 고정 지지 워터스테인 중심(Fixed‑Support Wasserstein Barycenter, 이하 FS‑WBP) 문제의 구조적 특성과 효율적 해법을 두 축으로 다룬다. 1. **문제 정의 및 기존 배경** FS‑WBP는 $m$개의 이산 확률분포 $\{\mu_k\}_{k=1}^m$가 동일한 고정 지지점 집합 $\{x_i\}_{i=1}^n$ 위에 정의될 때, 중심 분포 $\nu$의 가중합 Wasserstein 거리 $\sum_{k=1}^m \omega_k W_p^p(\nu,\mu_k)$를 최소화하는 최적화 문제이다. 자유 지지점 경우는 NP‑hard로 알려져 있으나, 고정 지지점에서는 제약이 단순해 LP로 표현될 수 있다. 기존 연구는 엔트로피 정규화를 도입한 IBP(Iterative Bregman Projection) 알고리즘을 사용해 근사해를 구했으며, 복잡도는 $\tilde O(mn^{2}\varepsilon^{-2})$ 수준이었다. 2. **LP 형태의 전완전정수행렬(TU) 여부** FS‑WBP를 표준 LP 형태로 전개하면 변수는 $X_k\in\mathbb{R}^{n\times n}_+$ (각 $k$에 대한 수송 행렬)이며, 제약은 $r(X_k)=u_k$, $c(X_{k+1})=c(X_k)$ 등으로 구성된다. 저자들은 $m\ge3$, $n\ge3$인 경우 제약 행렬에 $2\times3$ 비 TU 서브행렬이 존재함을 명시적으로 구성한다. 따라서 행렬은 전완전정수행렬이 아니며, FS‑WBP는 최소비용 흐름(MCF) 문제와 동형이 아니다. 이는 기존 네트워크 플로우 기반 가속 기법을 직접 적용할 수 없음을 의미한다. 반면 $n=2$일 때는 TU임을 보이며, 특수 경우에만 MCF와 동등함을 확인한다. 3. **엔트로피 정규화와 듀얼 문제** 엔트로피 정규화 파라미터 $\eta>0$를 도입해 목적함수에 $-\eta H(X_k)$를 추가한다. 듀얼 변수를 $\lambda,\tau$로 치환하면, 최적화는 \