강렬한 반전: 약화된 포화 가설과 크로네커 계수의 복잡성

초록

이 논문은 기하학적 복잡도 이론(GCT)에서 핵심 가정으로 사용되던 강한 포화 가설(SH)을 크로네커 계수에 대해 반증한다. 저자들은 Murnaghan의 감소된 크로네커 계수를 이용해 ℓ(µ)≤2, ℓ(ν)≤2, ℓ(λ)≤3인 무한한 반례군을 제시하고, 이를 통해 SH와 그 강한 양성 가설(PH2) 모두가 성립하지 않음을 보인다. 또한 감소된 계수를 활용해 크로네커 계수 계산이 #P‑hard임을 간단히 증명한다. 부록에서는 GCT 목표를 유지하면서도 더 약한 형태의 SH와 PH2를 제안한다.

상세 분석

본 연구는 크로네커 계수 g_{λ,µ,ν}의 구조적 특성을 감소된 크로네커 계수 (\bar g_{\gamma,\alpha,\beta})와 연결시키는 새로운 접근법을 제시한다. Murnaghan(1938)이 정의하고 Klyachko(2004)가 ‘감소된’이라고 명명한 이 계수는 n이 충분히 클 때 (g_{(n-|\gamma|,\gamma),(n-|\alpha|,\alpha),(n-|\beta|,\beta)})가 안정되는 값을 의미한다. 저자들은 이 안정값을 이용해 크로네커 계수의 스트레칭 함수 (e g_{\lambda,\mu,\nu}(N)=g_{N\lambda,N\mu,N\nu})가 퀘이즈다항식임을 재확인하고, 강한 포화 가설이 요구하는 “퀘이즈다항식이 포화(saturated)한다는” 조건이 실제로 위반되는 구체적인 사례를 구성한다.

핵심 반례는 다음과 같은 파라미터 선택에서 도출된다. 정수 i>j>0, k>2i+j를 잡고
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