블록 폭이 두인 행렬과 대규모 SDP와 SOS 최적화

초록

본 논문은 기존의 폭-2 행렬 개념을 블록 형태로 확장하여 블록 폭-2 행렬을 정의하고, 이를 이용해 양의 반정밀 행렬(PSD) 원뿔에 대한 새로운 내부·외부 근사 계층을 제시한다. 블록 분할을 조절함으로써 계산 복잡도와 근사 정확도 사이의 트레이드오프를 효율적으로 관리할 수 있으며, 특히 SOS 최적화에서 블록 확장된 SDSOS 다항식 집합을 도입한다. 대규모 실험을 통해 제안 방법이 기존 SDSOS 대비 높은 해 품질과 확장성을 제공함을 입증한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 factor‑width‑k 행렬 개념을 복습하고, 특히 k=2 일 때 SDD(Scaled Diagonally Dominant) 행렬과 동치임을 강조한다. 이때 SDD 행렬은 SOCP로 변환 가능해 계산 효율성이 높지만, PSD 원뿔을 근사하는 정도가 제한적이다. 이를 극복하기 위해 저자들은 행렬을 사전 정의된 블록 파티션 α={k₁,…,k_p} 로 나누고, 각 블록에 대해 SDD 제약을 적용하는 블록 폭‑2 행렬(FW_{α,2})을 정의한다. 블록 크기가 커질수록 각 블록 내부의 자유도가 증가해 근사 정확도가 향상되지만, 블록 수가 감소함에 따라 전체 제약 수는 크게 줄어든다. 이 구조적 특성은 “블록 파티션을 조정하면 내부 근사와 외부 근사의 계층을 형성한다”는 핵심 정리를 통해 수학적으로 증명된다. 특히, 블록 파티션이 미세할수록 기존 FW_n^2 와 동일한 수준의 보수성을 유지하면서, 블록이 거칠어질수록 PSD 원뿔에 더 가까운 외부 근사를 제공한다. 저자들은 또한 특정 희소 패턴을 갖는 PSD 행렬이 블록 폭‑2 원뿔에 포함될 수 있는 충분조건을 제시하고, 이를 통해 대규모 희소 SDP에 대한 직접 적용 가능성을 확보한다. SOS 최적화 측면에서는 다항식의 계수 행렬을 동일한 블록 파티션에 맞추어 재구성함으로써, 기존 SDSOS(스케일드 대각 우세 SOS) 다항식 집합을 블록 확장한 B‑SDSOS 를 정의한다. B‑SDSOS는 각 블록이 SDD 조건을 만족하도록 강제함으로써, SOS 프로그램을 SOCP 형태로 변환하면서도 기존 SDSOS 대비 더 넓은 다항식 클래스를 포괄한다. 실험에서는 1000 차원 이상 SDP와 8차 다항식 SOS 문제에 대해 다양한 파티션(예: {4,4,4,…}, {8,8,…})을 적용했으며, 계산 시간은 기존 SDSOS 대비 25배 가량 감소하면서도 목표 함수값 오차는 13% 수준으로 크게 개선되었다. 이러한 결과는 블록 폭‑2 행렬이 계산 복잡도와 해 품질 사이의 균형을 효과적으로 조절할 수 있음을 실증한다.