흥미로운 문제로 배우는 기본 미분기하

이 책은 러시아어 원서의 영문 번역 샘플을 바탕으로, 미분기하학을 ‘흥미로운 문제 풀이’라는 형식으로 재구성한 교재이다. 저자는 먼저 질점들의 질량 m_i와 위치 A_i를 이용해 관성 모멘트를 정의하고, 평면을 회전시킬 때 관성 모멘트가 I(l)=A cos²ϕ+I⁻ sin²ϕ 형태의 이차식으로 변한다는 사실을 제시한다. 이를 통해 곡률도 동일한 이차형식으로 표현될 수 있음을 암시한다. 첫 장에서는 곡선의 곡률을 정의하고, 곡선이 평면에 교차할 때 발생하는 ‘주곡률’ λ⁺, λ⁻와 그에 대응하는 평면 α⁺, α⁻를 도입한다. 코오리엔테이션을 반전시키면 λ⁺와 λ⁻가 교환되고, 전체 공간을 균일하게 확대하면 두 곡률이 모두 스케일 팩터의 제곱에 비례한다는 변환 법칙을 증명한다. 이어서 ‘에울러 공식’ k(ϕ)=λ⁺ cos²ϕ+λ⁻ sin²ϕ를 제시하고, λ⁺≠λ⁻인 경우 α⁺와 α⁻가 직교함을 보인다. 두 번째 장에서는 표면의 ‘스칼라 곡률’ τ를 정의한다. 표면 Π에 중심을 두고 반지름 R인 원을 그렸을 때, 원의 길이 L(R)와 2πR 사이의 차이가 τ·R³/6에 수렴한다는 식을 통해 τ를 구한다. 이는 2차원 표면에서 τ=2λ⁺+λ⁻임을 보여주며, 가우시안 곡률과 평균 곡률 사이의 관계를 직관적으로 설명한다. 저자는 이 과정을 회전면, 구면, 원통 등 다양한 예시로 구체화한다. 세 번째 장에서는 ‘측지선(geodesic)’과 ‘지수 사상(exp)’을 도입한다. 측지선은 국소적으로 가장 짧은 곡선이며, 초기 속도 u를 갖는 측지선을 γ_{P,u}(t)라 하면 exp_P(u)=γ_{P,u}(1)으로 정의한다. 이를 이용해 리치 텐서 ρ를 부피 변형률로 정의한다. 작은 n차원 입방체 A를 T_P에 놓고, exp_P(hA)의 부피를 전개하면 V(exp_P(hA))=hⁿ+6h^{n+2}∫_A ρ(u,u)du+O(h^{n+3})가 된다. 여기서 ρ는 대칭 이차 형식이며, 그 트레이스 tr ρ가 바로 스칼라 곡률 τ와 일치한다는 사실을 증명한다. 네 번째 장에서는 ‘다중선형 곡률’ 개념을 확장한다. 리만 계량 g_{ij}를 도입하고, 그에 대한 연결계수와 리만 곡률 텐서 R_{ijkl}을 정의한다. 저자는 R_{ijkl}을 ‘4차 선형 형태’라 부르며, 이는 곡률의 가장 일반적인 표현이라고 설명한다. 이어서 리만 텐서가 어떻게 평균 곡률, 가우시안 곡률, 그리고 스칼라 곡률을 포함하는지, 그리고 각각이 어떤 물리적·기하학적 의미를 갖는지를 구체적인 계산 예시와 함께 제시한다. 전반적으로 책은 각 장마다 ‘문제 → 힌트 → 풀이 → 정리’ 형태로 구성되어 있다. 예를 들어, 관성 모멘트와 곡률의 유사성을 보여주는 문제, 주곡률이 어떻게 변하는지를 묻는 문제, 스칼라 곡률을 직접 계산하도록 유도하는 문제, 그리고 리치 텐서를 부피 변형률로 정의하도록 하는 문제 등이 포함된다. 이러한 구성은 독자가 직접 손으로 계산하고, 직관을 쌓으며, 최종적으로는 일반적인 미분기하학의 정리들을 스스로 재구성하도록 돕는다. 마지막으로, 저자는 이 교재가 다변량 해석과 선형대수를 기본으로 하는 학부·대학원 수준의 학생들에게 적합하다고 강조한다. 또한, 문제 중심의 접근법이 ‘추상적 정의만 나열하는 전통적 교재’와 차별화된 장점이며, 실제 물리·공학 응용(예: 관성 모멘트, 표면 변형, 리치 흐름 등)과 연결될 수 있음을 강조한다. 전체적으로, 이 책은 미분기하학을 처음 접하는 독자에게 직관적이고 실용적인 입문서가 될 뿐 아니라, 이미 전문가인 독자에게도 새로운 관점의 문제 풀이를 제공한다.