비동질 선형 시스템의 군집 동기화 연구

1. 서론 최근 다중 에이전트 시스템에서 전체 동기화(complete synchronization)뿐 아니라 클러스터별로 서로 다른 동기화 상태를 유지하는 클러스터 동기화(cluster synchronization) 문제에 대한 관심이 급증하고 있다. 기존 연구는 주로 동일한 동역학을 갖는 에이전트들에 대해 정적 결합(static coupling) 방식을 사용했으며, 클러스터 구조가 미리 정의된 경우에 한해 그래프 토폴로지 조건(예: 클러스터 스패닝 트리)을 제시하였다. 그러나 실제 시스템에서는 서로 다른 물리적 파라미터를 가진 서브시스템들이 동시에 존재하며, 이러한 비동질(linear nonidentical) 시스템에 정적 결합을 적용하면 제어 설계와 그래프 조건이 서로 얽혀 실현 가능성이 크게 감소한다. 2. 문제 정의 및 모델링 에이전트 집합 I={1,…,L}을 N개의 클러스터 C={C₁,…,C_N}로 분할한다. 클러스터 C_i에 속한 모든 에이전트는 동일한 선형 동역학 ˙x_l(t)=A_i x_l(t)+B_i u_l(t), l∈C_i 을 갖지만, 클러스터 간에는 (A_i,B_i) 쌍이 서로 다르다. 상호작용 그래프 G=(V,E,A)의 라플라시안 L을 정의하고, 클러스터별 서브라플라시안 L_{ii}와 클러스터 간 연결을 나타내는 L_{ij}로 블록 구조화한다. 가정 1~3을 통해 (A_i,B_i) 쌍이 stabilizable하고, 각 A_i는 적어도 하나의 오른쪽 반평면 고유값을 가지며, 라플라시안 블록이 행합이 0임을 보장한다. 3. 동적 결합 구조 제안 정적 결합 대신, 각 에이전트에 보조 변수 η_l(t)∈ℝⁿ을 도입하고 다음과 같은 동적 결합을 적용한다. u_l(t)=K_i η_l(t) ˙η_l(t)=(A_i+B_iK_i)η_l + c