비선형 혼합효과 타원분포 모델의 영향 진단 행렬식

본 논문은 비선형 혼합효과 모델에 타원분포를 적용한 경우의 영향 진단을 위한 행렬 기반 공식을 제시한다. 먼저, 기존 연구인 Russo et al.(2009)에서 제시된 모델을 일반화하여 \(y_i \sim \text{El}_{m_i}\big(f(x_i,\alpha),\Sigma_i(w_i,\gamma)\big)\) 형태로 정의한다. 여기서 \(\Sigma_i\)는 Z_i D Z_i^\top + \sigma^2 I_{m_i}\)와 같은 고정 구조에 제한되지 않고, Z_i와 추가 분산 공변량을 포함한 일반적인 구조를 허용한다. 이를 통해 AR(1) 공분산, 추가 분산 파라미터 등 다양한 상황을 포괄한다. **1. 점수함수와 피셔 정보** 저자는 행렬 \(F_i = \begin{pmatrix} J_i & 0 \\ 0 & V_i \end{pmatrix}\), \(H_i = \begin{pmatrix} \Sigma_i^{-1} & 0 \\ 0 & \frac12 \Sigma_i^{-1}\otimes\Sigma_i^{-1} \end{pmatrix}\) 등을 정의하고, \(U_\theta = \sum_{i=1}^n F_i^\top H_i \dot u_i\) \(\dot u_i = \begin{pmatrix} v_i r_i - \operatorname{vec}(\Sigma_i) v_i r_i r_i^\top \end{pmatrix}\) 와 같은 형태로 점수함수를 행렬식으로 표현한다. 기대 피셔 정보는 \(K_{\theta\theta}= \sum_{i=1}^n F_i^\top H_i O_i H_i F_i\) 이며, 여기서 \(O_i\)는 타원분포 특성인 \(c_i, d_{gi}\) 등을 포함한 2차 텐서이다. 이 식은 기존에 원소별로 제시되던 복잡한 합을 한 줄의 행렬 연산으로 압축한다. **2. 관측 피셔 정보** 관측 피셔 정보는 기대 피셔 정보와 차이가 있는 2차 미분 항을 포함한다. 저자는 \(-\ddot L_{\theta\theta}= \sum_i \big(F_i^\top H_i \ddot O_i H_i F_i + \dot u_i^\top H_i \partial F_i/\partial\theta\big)\) 로 나타내며, \(\ddot O_i\)는 \(W_g(u_i), W'_g(u_i)\) 등 타원분포의 로그밀도 2차 도함수를 포함한다. 이를 통해 로컬 인플루언스 곡률 계산에 필요한 정확한 2차 정보를 제공한다. **3. Δ 행렬** Cook(1986)의 로컬 인플루언스 프레임워크를 적용하기 위해 Δ 행렬을 세 가지 교란 방식에 대해 행렬식으로 정리한다. - 케이스 가중치 교란: \(\Delta_{\text{weight}} =