지연 경계 제어를 이용한 반응‑확산 방정식의 PI 규제 설계

** 본 논문은 1차원 반응‑확산 방정식에 대해 오른쪽 경계에 디리클레 입력을 적용하고, 그 입력에 일정한 지연 D가 존재하는 상황에서, 왼쪽 경계의 노이만 미분값 y_x(t,0)을 목표 레퍼런스 r(t)와 일치시키는 PI(비례‑적분) 규제 문제를 다룬다. 시스템은 y_t = y_{xx} + c(x) y + d(t,x), y(t,0)=0, y(t,L)=u(t−D) 의 형태를 가지며, c(x)∈L^∞(0,L)이고 d(t,·)는 시간에 따라 변하는 분포 교란이다. 목표는 적분 행동을 포함한 제어기로 y_x(t,0)→r(t) 를 보장하면서, 시스템 전체가 지수적으로 안정화되는 것이다. ### 1. 제어 설계 전략 1) **스펙트럼 분해와 유한 차원 모델** 연산자 A=∂_{xx}+c(x)I는 자가‑수반이며 콤팩트한 resolvent를 갖는다. 고유함수 {e_j}와 고유값 {λ_j}를 이용해 상태를 w(t,x)=∑ w_j(t) e_j(x) 로 전개한다. λ_j>0인 불안정 모드의 개수를 n이라 정의하고, 이들 모드와 지연 입력 u_D(t)=u(t−D) 를 포함하는 상태벡터 X₁∈ℝ^{n+1}을 만든다. 2) **적분 상태 도입** 추적 오차 e(t)=y_x(t,0)−r(t)의 적분을 z(t)=∫₀^t e(τ)dτ 로 정의한다. 그러나 ż(t)에는 고차 모드 w_j (j>n) 가 포함되므로 직접적인 확대가 불가능하다. 이를 해결하기 위해 ζ(t)=z(t)−∑_{j>n} (e₀j(0)/λ_j) w_j(t) 라는 보정 변수를 도입한다. ζ̇(t)는 X₁, u_D, v_D (예측 입력) 및 외부 교란만으로 표현된다. 3) **Artstein 변환을 통한 지연 보상** 입력 지연을 다루기 위해 v(t)=\dot u(t) 라는 새로운 제어 변수를 도입하고, u(t)=∫₀^t v(τ)dτ 로 복원한다. 이 변환은 지연을 내부 상태에 포함시키는 예측 피드백 구조를 제공한다. 4) **확장된 유한 차원 시스템** 확장된 상태 X(t)=